《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

1. (1) 一个角的余角比这个角的$\frac{1}{2}少30^{\circ}$,求这个角的度数。
(2) 一个锐角的补角比它的余角的4倍小$30^{\circ}$,求这个锐角的度数。

答案：
(1) 设这个角的度数为 $ x $，则它的余角为 $ 90^{\circ}-x $。根据题意，得 $ \frac{1}{2}x-(90^{\circ}-x)=30^{\circ} $，解得 $ x = 80^{\circ} $。所以这个角的度数为 $ 80^{\circ} $。
(2) 设这个锐角的度数为 $ y $。根据题意，得 $ 180^{\circ}-y = 4(90^{\circ}-y)-30^{\circ} $，解得 $ y = 50^{\circ} $。所以这个锐角的度数为 $ 50^{\circ} $。

2. 如图,点O在直线MN上,过点O引射线OA和OB,且$∠MOA = 2∠BON$,$∠BON比∠AOB大20^{\circ}$,求$∠MOA和∠AOB$的度数。

答案： 设 $ \angle BON = x^{\circ} $，则 $ \angle MOA = 2x^{\circ} $。根据题意，得 $ x^{\circ}-(180^{\circ}-x^{\circ}-2x^{\circ}) = 20^{\circ} $，解得 $ x = 50 $。所以 $ \angle MOA = 2x^{\circ}=100^{\circ} $，$ \angle AOB = 180^{\circ}-x^{\circ}-2x^{\circ}=30^{\circ} $。
方法点金
利用方程思想解题
在直线相交的图形中求角的度数时，通过分析题目中涉及的角的位置关系得出角之间的特殊的数量关系，把待求的角用未知数表示，与之有关的角用含未知数的式子表示，依据角之间的数量关系建立方程，把图形中的计算问题转化为解方程问题。

3. 如图,C,B是线段AD上的两点,$AC:CB:BD = 3:1:4$,E,F分别是AB,CD的中点,且$EF = 14$,求AB,CD的长。

答案： 设 $ AC = 3x $，则 $ CB = x $，$ BD = 4x $。所以 $ AB = AC + CB = 3x + x = 4x $，$ CD = CB + BD = x + 4x = 5x $。因为 $ E $，$ F $ 分别是 $ AB $，$ CD $ 的中点，所以 $ BE = \frac{1}{2}AB = 2x $，$ CF = \frac{1}{2}CD = \frac{5}{2}x $。因为 $ EF = 14 $，所以 $ EB + CF - CB = 14 $。所以 $ 2x + \frac{5}{2}x - x = 14 $，解得 $ x = 4 $。所以 $ AB = 4x = 16 $，$ CD = 5x = 20 $。
方法点金
解关系复杂的线段或角的题目的方法
解关系复杂的线段或角的题目时，往往通过设未知数（如本题中出现比，可以设每份为 $ x $），并根据已知条件，用未知数表示其他量，然后根据题目中的等量关系列方程求解。

4. 如图,把一根细绳对折成两条重合的线段AB,A为对折点,点P在线段AB上,且$AP:BP = 3:4$。
(1) 若细绳的长度是126 cm,求图中线段AP的长。
(2) 从点P处把细绳剪断后展开,细绳变成三段,若三段中最长的一段为72 cm,求原来细绳的长。

答案：
(1) 因为 $ AB = \frac{1}{2}×126 = 63(cm) $，$ AP:BP = 3:4 $，所以 $ AP = 63×\frac{3}{3 + 4} = 27(cm) $。
(2) 因为 $ AP:BP = 3:4 $，所以设 $ AP = 3x cm $，则 $ BP = 4x cm $。因为 $ A $ 为对折点，所以剪断后的三段分别长 $ 6x cm $，$ 4x cm $，$ 4x cm $。所以 $ 6x = 72 $，解得 $ x = 12 $。所以 $ 6x + 4x + 4x = 14x = 168 $，即原来细绳的长为 $ 168 cm $。