《2025年暑期升级训练七年级数学浙教版浙江教育出版社》

11. 已知关于$x$,$y的多项式(ax^{2}-3x+by - 1)-2(3 - y-\frac{3}{2}x+x^{2})$。
(1)给定$a = 3$,$b = 2$,当$x = y = 1$时,求这个多项式的值。
(2)是否存在实数$a$,$b$,不管$x$,$y$取何值,该多项式的值始终是一个常数？如果存在,请求出$a$,$b$的值；如果不存在,请说明理由。

答案：
(1) 当 $ a = 3,b = 2 $ 时，这个多项式可化简为 $ x^{2}+4y - 7 $。当 $ x = y = 1 $ 时，多项式的值为 $ - 2 $。
(2) 多项式可化简为 $ (a - 2)x^{2}+(b + 2)y - 7 $。由题意，得 $ a - 2 = 0,b + 2 = 0 $，解得 $ a = 2,b=-2 $。所以存在实数 $ a,b $，且当 $ a = 2,b=-2 $ 时，不管 $ x,y $ 取何值，该多项式的值始终是常数 $ - 7 $。

12. 已知多项式$P= (x + 2)^{2}+x(1 - x)-9$($x$为整数,且$x\neq1$)。试说明：多项式$P能被5$整除。

答案： $ P=(x + 2)^{2}+x(1 - x)-9=x^{2}+4x + 4 + x - x^{2}-9 = 5x - 5 = 5(x - 1) $。因为 $ x $ 为整数，且 $ x\neq1 $，所以多项式 $ P $ 能被 $ 5 $ 整除。

13. 数学课上,老师出了这样一道题目：当$a= \frac{1}{2}$,$b= -2$时,求多项式$7a^{3}+3a^{2}b+3a^{3}+6a^{3}b-3a^{2}b-10a^{3}-6a^{3}b - 1$的值。解完这道题后,小阳指出：$a= \frac{1}{2}$,$b= -2$是多余的条件。师生讨论后,一致认为小阳的说法是正确的。
(1)请你证明小阳的说法。
(2)无论$x$,$y$取何值,多项式$2x^{2}+ax - 5y + b-2(bx^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}y - 3)$的值都不变,求系数$a$,$b$的值。

答案：
(1) 因为 $ 7a^{3}+3a^{2}b + 3a^{3}+6a^{3}b - 3a^{2}b - 10a^{3}-6a^{3}b - 1=(7 + 3 - 10)a^{3}+(3 - 3)a^{2}b+(6 - 6)a^{3}b - 1=-1 $，所以该多项式的值为常数，与 $ a $ 和 $ b $ 的取值无关。所以小阳的说法正确。
(2) $ 2x^{2}+ax - 5y + b-2(bx^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}y - 3)=2x^{2}+ax - 5y + b - 2bx^{2}+3x + 5y + 6=(2 - 2b)x^{2}+(a + 3)x+(b + 6) $。因为无论 $ x,y $ 取何值，多项式 $ 2x^{2}+ax - 5y + b-2(bx^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}y - 3) $ 的值都不变，所以 $ 2 - 2b = 0,a + 3 = 0 $。所以 $ a=-3,b = 1 $。