《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

5. 如图，已知AB//CD，∠A=54°，∠E=18°，则∠C的度数是( )
A. 36° B. 34° C. 32° D. 30°

答案：
A [解析]过点$E$作$EF// AB$，则$EF// CD$，如图所示。因为$EF// AB$，所以$∠AEF=∠A=54^{\circ }$，所以$∠CEF=∠AEF - ∠AEC=54^{\circ } - 18^{\circ }=36^{\circ }$。又因为$EF// CD$，所以$∠C=∠CEF=36^{\circ }$。

6. 如图，AB//CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE，EN，MF交于点O．
(1)若∠AMF=50°，∠CNE=40°，则∠MEN=______°，∠MFN=______°；
(2)若图中∠MEN+60°=2∠MFN，则∠AMF的度数为______；
(3)探究∠MEN，∠MFN与∠MON之间的数量关系．

答案： 解：
(1)分别过点$E$，$F$作$AB$的平行线，则它们同时也与$CD$平行，则有$∠MEN=∠AME + ∠CNE$，$∠MFN=∠AMF + ∠CNF$。由$∠AMF=50^{\circ }$，$∠CNE=40^{\circ }$，$ME$平分$∠AMF$，$NF$平分$∠CNE$，得$∠AME=25^{\circ }$，$∠CNF=20^{\circ }$，所以$∠MEN=65^{\circ }$，$∠MFN=70^{\circ }$。
(2)$40^{\circ }$ [解析]由
(1)可知$∠MEN=∠AME + ∠CNE$，$∠MFN=∠AMF + ∠CNF$，则有$∠AME + ∠CNE + 60^{\circ }=2∠AMF + 2∠CNF$。又$2∠CNF=∠CNE$，$2∠AME=∠AMF$，所以$∠AMF=60^{\circ }$，故$∠AMF=40^{\circ }$。
(3)过点$O$作$AB$的平行线，则它同时也与$CD$平行，易证$∠MON=∠AMF + ∠CNE$。因为$∠MEN=∠AME + ∠CNE$，$∠MFN=∠AMF + ∠CNF$，所以$∠MEN + ∠MFN=\frac {3}{2}(∠AMF + ∠CNE)$，所以$∠MEN + ∠MFN=\frac {3}{2}∠MON$。

7. 如果∠1的两边与∠2的两边互相平行，且∠1=60°，那么∠2=______．

答案： $60^{\circ }$或$120^{\circ }$

8. 一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角尺AOB，改变三角尺ACD的位置(其中A点位置始终不变)，使三角尺ACD的一边与三角尺AOB的某一边平行，则∠BAD的所有可能的值是__________．

答案：
$15^{\circ }$，$30^{\circ }$，$45^{\circ }$，$75^{\circ }$，$105^{\circ }$，$135^{\circ }$，$150^{\circ }$，$165^{\circ }$
[解析]分8种情况讨论：
①如图1，$∠BAD=45^{\circ }$时，$AD$边与$OB$边平行；
②如图2，$∠BAD=135^{\circ }$时，$AC$边与$OB$边平行；
③如图3，$∠BAD=150^{\circ }$时，$DC$边与$AB$边平行；
④如图4，$∠BAD=165^{\circ }$时，$DC$边与$OB$边平行；
⑤如图5，$∠BAD=15^{\circ }$时，$DC$边与$OB$边平行；
⑥如图6，$∠BAD=105^{\circ }$时，$DC$边与$AO$边平行；
⑦如图7，$∠BAD=30^{\circ }$时，$DC$边与$AB$边平行；
⑧如图8，$∠BAD=75^{\circ }$时，$DC$边与$AO$边平行。
(与这8种情况位置不同，且满足题意，但所求出角度与上述8种情况中的一种相同的情况略)

9. (1)如图1，直线AB，CD被直线EF所截，EM平分∠AEF，FM平分∠CFE．若∠AEM=55°，∠CFM=35°，则AB与CD平行吗？请说明理由；
(2)如图2，若直线AB//CD，点M在直线AB，CD之间，点E，F分别在直线AB，CD上，∠EMF=90°，P是MF上一点，且EM平分∠AEP．若∠CFM=60°，则∠AEP的度数为多少；
(3)若直线AB//CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在直线AB，CD之间，且在直线EF的左侧，P是折线E-M-F上的一个动点，∠EMF=90°保持不变，移动点P，使EM平分∠AEP或FM平分∠CFP．设∠CFP=α，∠AEP=β，请写出α与β之间的数量关系．

答案：
解：
(1)$AB// CD$，理由：因为$∠AEM=55^{\circ }$，$EM$平分$∠AEF$，所以$∠AEF=2∠AEM=110^{\circ }$。因为$∠CFM=35^{\circ }$，$FM$平分$∠CFE$，所以$∠CFE=2∠CFM=70^{\circ }$，所以$∠AEF + ∠CFE=180^{\circ }$，所以$AB// CD$。
(2)如图1，过点$M$作$MN// AB$。因为$AB// CD$，所以$AB// CD// MN$。所以$∠AEM=∠NME$，$∠CFM=∠NMF=60^{\circ }$，所以$∠EMF=∠EMN + ∠NMF=∠AEM + ∠CFM=90^{\circ }$，所以$∠AEM=∠EMN=30^{\circ }$。因为$EM$平分$∠AEP$，所以$∠AEP=2∠AEM=60^{\circ }$。
(3)如图2，若$EM$平分$∠AEP$，则$∠AEM=∠PEM=\frac {1}{2}∠AEP=\frac {1}{2}β$。同
(2)，可得$∠EMF=∠AEM + ∠CFP=90^{\circ }$，所以$\frac {1}{2}β+α=90^{\circ }$。如图3，若$FM$平分$∠CFP$，则$∠CFM=∠PFM=\frac {1}{2}∠CFP=\frac {1}{2}α$。同
(2)，可得$∠EMF=∠AEP + ∠CFM=90^{\circ }$，所以$β+\frac {1}{2}α=90^{\circ }$。综上所述，$α$与$β$之间的数量关系为$α+\frac {1}{2}β=90^{\circ }$或$β+\frac {1}{2}α=90^{\circ }$。