《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

1. 如图，已知点O为直线AB上一点，$\angle BOC=100^{\circ}$，$\angle COD=90^{\circ}$，OM平分$\angle AOC$。
(1)求$\angle MOD$的度数；
(2)若$\angle BOP$与$\angle AOM$互余，求$\angle COP$的度数。

答案： 解:
(1) 因为∠BOC = 100°，∠COD = 90°，所以∠BOC + ∠COD = 100° + 90° = 190°。因为∠AOB = 180°，所以∠AOD = 10°，∠AOC = 180° - 100° = 80°。因为OM平分∠AOC，所以∠AOM = $\frac{1}{2}$∠AOC = 40°，所以∠MOD = ∠AOM + ∠AOD = 40° + 10° = 50°。
(2) 因为∠BOP与∠AOM互余，所以∠BOP + ∠AOM = 90°。因为∠AOB = 180°，所以∠MOP = 180° - 90° = 90°。因为OM平分∠AOC，所以∠COM = $\frac{1}{2}$∠AOC = 40°，所以∠COP = ∠MOP - ∠COM = 90° - 40° = 50°。

2. 如图，点A，O，B在同一直线上，$\angle BOC=78^{\circ}$，$\angle DOE=77^{\circ}$，OD是$\angle BOC$的一条靠近OC边的三等分线。
(1)求$\angle COE$的度数；
(2)OE是$\angle AOC$的平分线吗？说明你的理由。

答案： 解:
(1) 因为OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线，∠BOC = 78°，所以∠COD = $\frac{1}{3}$∠BOC = $\frac{1}{3}$×78° = 26°。因为∠DOE = 77°，所以∠COE = ∠DOE - ∠COD = 77° - 26° = 51°，即∠COE的度数为51°。
(2) OE是∠AOC的平分线。理由: 因为∠COE = 51°，∠BOC = 78°，点A，O，B在同一直线上，所以∠AOE = 180° - ∠COE - ∠BOC = 180° - 51° - 78° = 51°，所以∠AOE = ∠COE，所以OE是∠AOC的平分线。

3. 如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分$\angle AOC$，OE平分$\angle BOC$。
(1)若$\angle BOD=160^{\circ}$，求$\angle BOE$的度数；
(2)若$\angle COE$比$\angle COD$多$60^{\circ}$，求$\angle COE$的度数。

答案： 解:
(1) 因为OD是∠AOC的平分线，所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC。又因为OE是∠BOC的平分线，所以∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC，所以∠DOE = ∠COD + ∠COE = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$∠AOB = 90°。因为∠BOD = 160°，所以∠BOE = ∠BOD - ∠DOE = 160° - 90° = 70°。
(2) 由
(1)可知，∠DOE = 90°。因为∠COE比∠COD多60°，所以∠COE - ∠COD = 60°。因为∠COE + ∠COD = 90°，所以(∠COE - ∠COD) + (∠COE + ∠COD) = 60° + 90° = 150°，所以2∠COE = 150°，所以∠COE = 75°。

4. 如图，已知OC是$\angle AOB$内部的一条射线，OD是$\angle AOB$的角平分线，$\angle AOC$与$\angle BOC$的度数比为$3:2$，且$\angle DOC=12^{\circ}$，求$\angle AOB$的度数。(请用两种不同的方法解答此题，其中一种方法用方程求解)

答案： 解: 解法一: 因为∠AOC : ∠BOC = 3 : 2，所以设∠AOC = 3x°，∠BOC = 2x°，所以∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 5x°。因为OD平分∠AOB，所以∠AOD = $\frac{5}{2}$x°。因为∠COD = 12°，且∠COD = ∠AOC - ∠AOD，所以3x - $\frac{5}{2}$x = 12，解得x = 24，所以∠AOB = 5×24° = 120°。
解法二: 因为∠AOC : ∠BOC = 3 : 2，所以∠AOC = $\frac{3}{2}$∠BOC。因为∠AOB = ∠AOC + ∠BOC，所以∠AOB = $\frac{5}{2}$∠BOC。因为OD平分∠AOB，所以∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{5}{4}$∠BOC。因为∠COD = ∠AOC - ∠AOD，所以∠COD = $\frac{3}{2}$∠BOC - $\frac{5}{4}$∠BOC = $\frac{1}{4}$∠BOC，即∠BOC = 4∠COD。因为∠COD = 12°，所以∠BOC = 48°，所以∠AOB = $\frac{5}{2}$∠BOC = 120°。