《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

17. （8分）已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x - y = m + 6, \\x + y = 3m + 2\end{cases}$的解满足$x \geqslant 0$，$y ＜ 0$.
（1）求$m$的取值范围；
（2）在$m$的取值范围内，当$m$取何整数时，不等式$(2m + 1)x ＜ 2m + 1$的解集为$x ＞ 1$？

答案： 解:
(1)解方程组$\begin{cases}x - y = m + 6, \\x + y = 3m + 2\end{cases}$得$\begin{cases}x = 2m + 4, \\y = m - 2,\end{cases}$因为关于x，y的方程组$\begin{cases}x - y = m + 6, \\x + y = 3m + 2\end{cases}$的解满足x ≥ 0，y ＜ 0，所以$\begin{cases}2m + 4 ≥ 0, \\m - 2 ＜ 0,\end{cases}$解得-2 ≤ m ＜ 2，即m的取值范围是-2 ≤ m ＜ 2。
(2)要使不等式(2m + 1)x ＜ 2m + 1的解集为x ＞ 1，必须2m + 1 ＜ 0，解得m ＜ - $\frac{1}{2}$。因为-2 ≤ m ＜ 2，所以-2 ≤ m ＜ - $\frac{1}{2}$，所以整数m可取-1，-2。

18. （8分）若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}3x - 2 \geqslant 2(x + 2), \\a - 2x ＜ -5\end{cases}$的解集为$x \geqslant 6$，且关于$y$的分式方程$\frac{y + 2a}{y - 1} + \frac{3y - 8}{1 - y} = 2$的解是正整数，求所有满足条件的整数$a$的值的和.

答案： 解:记$\begin{cases}3x - 2 ≥ 2(x + 2)\cdots①, \\a - 2x ＜ -5\cdots②.\end{cases}$解不等式①，得x ≥ 6，解不等式②，得x ＞ $\frac{a + 5}{2}$。因为不等式组的解集为x ≥ 6，所以观察数轴(图略)，得$\frac{a + 5}{2}$ ＜ 6，解得a ＜ 7。在分式方程两边都乘(y - 1)，得y + 2a - 3y + 8 = 2(y - 1)，解得y = $\frac{a + 5}{2}$。因为方程的解是正整数，所以$\frac{a + 5}{2}$ ＞ 0，所以a ＞ -5。又因为y - 1 ≠ 0，所以$\frac{a + 5}{2}$ ≠ 1，解得a ≠ -3，所以-5 ＜ a ＜ 7且a ≠ -3，所以能使$\frac{a + 5}{2}$是正整数的a的值为-1，1，3，5，所以所有满足条件的整数a的值的和为8。

19. （10分）如图，按下列程序进行计算. 规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算，若结果大于244，则输出此结果；若结果不大于244，则将此结果的值赋给$m$，再进行下一次计算.
（1）若$m = 5$，则运算进行多少次才会停止？
（2）若运算进行了3次才停止，求$m$的取值范围.

答案： 解:
(1)第1次运行:5×3 - 2 = 13 ＜ 244；第2次运行:13×3 - 2 = 37 ＜ 244；第3次运行:37×3 - 2 = 109 ＜ 244；第4次运行:109×3 - 2 = 325 ＞ 244。故当m = 5时，运算进行4次才会停止。
(2)由题意得$\begin{cases}3(3m - 2) - 2 ≤ 244, \\3[3(3m - 2) - 2] - 2 ＞ 244,\end{cases}$解得10 ＜ m ≤ 28。

20. （10分）学校准备向某商家购买甲、乙两种文化衫，已知甲种文化衫每件定价40元，乙种文化衫每件定价30元. 学校决定向该商家购买甲、乙两种文化衫共100件（其中甲种文化衫不超过50件），恰逢商家搞促销，现有两种优惠方案，方案一：甲种文化衫按标价八折出售，乙种文化衫按标价四折出售；方案二：购买一件甲种文化衫送一件乙种文化衫. 根据以上信息，请通过计算说明，学校按照哪种方案购买更划算.

答案： 解:设购买甲种文化衫x件，则购买乙种文化衫(100 - x)件。依题意知方案一所需费用为40×0.8x + 30×0.4(100 - x) = (20x + 1200)元，方案二所需费用为40x + 30(100 - x - x) = (-20x + 3000)元。当20x + 1200 ＜ -20x + 3000时，解得x ＜ 45；当20x + 1200 = -20x + 3000时，解得x = 45；当20x + 1200 ＞ -20x + 3000时，解得x ＞ 45。所以当x ＜ 45时，选择方案一购买更划算；当x = 45时，两种方案购买所需费用一样；当45 ＜ x ≤ 50时，选择方案二购买更划算。