《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

22. （12分）观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）.
（1）两条直线相交于一点，如图1，共有____对对顶角；
（2）三条直线相交于一点，如图2，共有____对对顶角；
（3）四条直线相交于一点，如图3，共有____对对顶角；
……
（4）根据填空结果探究：当n条直线相交于一点时，求所构成的对顶角的对数与直线条数之间的关系；
（5）根据探究结果，求2026条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数.

答案： 解:
(1)2
(2)6
(3)12
(4)根据计数结果，可以发现:$2 = 1 × 2$，$6 = 2 × 3$，$12 = 3 × 4$，…即对顶角的对数与直线条数的对应关系是对顶角的对数 $= ($直线条数 $- 1) ×$ 直线条数。因此，当 $n$ 条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数是 $(n - 1) × n$。
(5)2026 条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数是 $(2026 - 1) × 2026 = 4102650$ (对)。

23. （14分）如图，已知$AB// CD$，$AD// BC$，$∠DCE=90^{\circ}$，点E在线段AB上，$∠FCG=90^{\circ}$，点F在直线AD上，$∠AHG=90^{\circ}$.
（1）找出图中与$∠D$相等的角，并说明理由；
（2）若$∠ECF=25^{\circ}$，求$∠BCD$的度数；
（3）在（2）的条件下，点C（不与B，H两点重合）从点B出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不变，求$∠BAF$的度数.

答案：
解:
(1)与 $\angle D$ 相等的角为 $\angle DCG$，$\angle ECF$，$\angle B$，$\angle AME$，$\angle CMH$。理由如下:因为 $AD // BC$，所以 $\angle D = \angle DCG$。因为 $\angle FCG = 90^{\circ}$，$\angle DCE = 90^{\circ}$，所以 $\angle ECF = \angle DCG$，所以 $\angle D = \angle ECF$。因为 $AB // DC$，所以 $\angle DCG = \angle B$，所以 $\angle B = \angle D$。因为 $\angle FCG = 90^{\circ}$，$\angle AHC = 90^{\circ}$，所以 $AH // FC$，所以 $\angle AME = \angle FCM$，所以 $\angle FCM = \angle D$。因为 $\angle AME = \angle CMH$，所以 $\angle CMH = \angle D$。所以与 $\angle D$ 相等的角为 $\angle DCG$，$\angle ECF$，$\angle B$，$\angle AME$，$\angle CMH$。
(2)因为 $\angle ECF = 25^{\circ}$，$\angle DCE = 90^{\circ}$，所以 $\angle FCD = 65^{\circ}$。又因为 $\angle BCF = 90^{\circ}$，所以 $\angle BCD = 65^{\circ} + 90^{\circ} = 155^{\circ}$。
(3)如图 1，当点 $C$ 在线段 $BH$ 上时，点 $F$ 在 $DA$ 延长线上。

由题知，$\angle ECF = \angle DCG = \angle B = 25^{\circ}$。因为 $AD // BC$，所以 $\angle BAF = \angle B = 25^{\circ}$。

如图 2，当点 $C$ 在 $BH$ 延长线上时，点 $F$ 在线段 $AD$ 上。因为 $\angle B = 25^{\circ}$，$AD // BC$，所以 $\angle BAF = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ}$。综上所述，$\angle BAF$ 的度数为 $25^{\circ}$或 $155^{\circ}$。