《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

1. 如图，$AB// CD$，$∠E=40^{\circ}$，$∠A=110^{\circ}$，求$∠C$的度数.

答案：
解:如图，过点E作EG//AB.因为AB//CD，EG//AB，所以CD//EG，所以∠GEA = 180° - ∠A = 70°，所以∠CEG = ∠CEA + ∠GEA = 110°，所以∠C = 180° - ∠CEG = 70°.

2. 直线$AB// CD$，$BE-EC$是一条折线段，$BP$平分$∠ABE$.
(1)如图1，若$BP// CE$，求证：$∠BEC+∠DCE=180^{\circ}$；
(2)$CQ$平分$∠DCE$，直线$BP$，$CQ$交于点$F$.
①如图2，写出$∠E$和$∠F$的数量关系，并证明；(注：三角形内角和为$180^{\circ}$)
②当点$E$在直线$AB$，$CD$之间时，若$∠E=40^{\circ}$，直接写出$∠F$的大小.

答案：
解:
(1)如图1,延长DC交BE于K,交BP于T,因为AB//CD，所以∠ABT = ∠BTK.因为BP平分∠ABE，所以∠ABT = ∠TBK，所以∠BTK = ∠TBK.因为BP//CE，所以∠BTK = ∠KCE，∠TBK = ∠KEC，所以∠KCE = ∠KEC.因为∠KCE + ∠DCE = 180°，所以∠KEC + ∠DCE = 180°，即∠BEC + ∠DCE = 180°.
　　
(2)①∠E + 2∠F = 180°，证明如下:延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图2.因为射线BP，CQ分别平分∠ABE，∠DCE，所以∠ABP = ∠EBP，∠DCQ = ∠ECQ.设∠ABP = ∠EBP = α，∠DCQ = ∠ECQ = β，所以∠FBM = ∠ABP = α，∠MBE = 180° - 2α，∠NCE = 180° - 2β，∠FCN = ∠DCQ = β.因为AB//DC，所以∠FMB = ∠FCN = β，∠CNE = ∠MBE = 180° - 2α，所以∠F = 180° - ∠FBM - ∠FMB = 180° - (α + β)，∠E = 180° - ∠NCE - ∠CNE = 180° - (180° - 2β) - (180° - 2α) = 2(α + β) - 180°，所以∠E = 180° - 2∠F，所以∠E + 2∠F = 180°.
②由①知，∠E + 2∠F = 180°，因为∠E = 40°，所以∠F = 70°.

3. 如图，$AB// CD$，若$∠E+∠G=∠H$，试求$∠A+∠B+∠C+∠D+∠F$的度数.

答案：
解:如图所示，作EI//AB，FJ//AB，GK//CD.因为AB//CD，所以AB//EI//FJ//GK//CD，所以∠A = ∠AEI，∠IEF = ∠EFJ，∠JFG = ∠FGK，∠KGD = ∠D，所以∠A + ∠EFG + ∠D = ∠AEF + ∠FGD = ∠H，所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠F = ∠B + ∠C + ∠H = 360°.

4. 已知，直线$AB// CD$，点$P$为平面上一点，连接$AP$与$CP$.
(1)如图1，点$P$在直线$AB$，$CD$之间，当$∠BAP=60^{\circ}$，$∠DCP=20^{\circ}$时，求$∠APC$的度数；
(2)如图2，点$P$在直线$AB$，$CD$之间，在$AC$左侧，$∠BAP$与$∠DCP$的角平分线相交于点$K$，写出$∠AKC$与$∠APC$之间的数量关系，并说明理由.

答案：
解:
(1)如图1,过P作PE//AB.因为AB//CD，所以PE//AB//CD，所以∠APC = ∠APE + ∠CPE = ∠BAP + ∠DCP = 60° + 20° = 80°.
　　
(2)∠AKC = $\frac{1}{2}$∠APC.理由:如图2,过K作KE//AB,因为AB//CD，所以KE//AB//CD，∠AKE = ∠BAK，∠CKE = ∠DCK，所以∠AKC = ∠AKE + ∠CKE = ∠BAK + ∠DCK.过P作PF//AB，同理可得，∠APC = ∠BAP + ∠DCP.因为∠BAP与∠DCP的角平分线交于点K，所以∠BAK + ∠DCK = $\frac{1}{2}$∠BAP + $\frac{1}{2}$∠DCP = $\frac{1}{2}$(∠BAP + ∠DCP) = $\frac{1}{2}$∠APC，所以∠AKC = $\frac{1}{2}$∠APC.