《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

5. 如图，射线OC在$\angle AOB$内部，OM，ON分别平分$\angle AOC$和$\angle COB$，若$\angle MON=40^{\circ}$，求$\angle AOB$的度数。

答案： 解: 因为OM，ON分别平分∠AOC和∠COB，所以∠AOC = 2∠COM，∠BOC = 2∠CON，所以∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 2(∠COM + ∠CON) = 2∠MON。因为∠MON = 40°，所以∠AOB = 80°。

6. 如图，点O在直线AB上，OD是$\angle AOC$的平分线，OE是$\angle BOC$的平分线。
(1)求$\angle DOE$的度数；
(2)如果$\angle AOD=52^{\circ}$，求$\angle BOE$的度数。

答案： 解:
(1) 因为∠AOC + ∠COB = 180°，又因为OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，所以∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠COE = $\frac{1}{2}$∠COB，所以∠DOE = ∠DOC + ∠COE = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠COB) = 90°。
(2) 因为∠DOE = 90°，所以∠AOD + ∠BOE = 90°。因为∠AOD = 52°，所以∠BOE = 90° - ∠AOD = 38°。

7. 已知$\angle AOB=20^{\circ}$，$\angle AOC=4\angle AOB$，OD平分$\angle AOB$，OM平分$\angle AOC$，求$\angle MOD$的度数。

答案：
解: 分为两种情况: ① 如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，因为∠AOB = 20°，∠AOC = 4∠AOB，所以∠AOC = 80°。因为OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，所以∠AOD = ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 10°，∠AOM = ∠COM = $\frac{1}{2}$∠AOC = 40°，所以∠DOM = ∠AOM - ∠AOD = 40° - 10° = 30°。② 如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，∠DOM = ∠AOM + ∠AOD = 40° + 10° = 50°。故∠MOD的度数是30°或50°。
　　　　 　　　　

8. 已知$\angle AOB=90^{\circ}$，$\angle COD=60^{\circ}$，按如图1所示摆放，将OA，OC边重合在直线MN上，OB，OD边在直线MN的两侧。
(1)保持$\angle AOB$不动，将$\angle COD$绕点O旋转至如图2所示的位置，则$\angle AOC+\angle BOD=$______，$\angle BOC-\angle AOD=$______；
(2)若$\angle COD$按每秒$5^{\circ}$的速度绕点O逆时针方向旋转，$\angle AOB$按每秒$2^{\circ}$的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转时间为$t\ s$，求$\angle MOC-\angle AOD$的大小(用含t的代数式表示)；
(3)保持$\angle AOB$不动，将$\angle COD$绕点O逆时针方向旋转$n^{\circ}(n\leqslant 180)$，若射线OE平分$\angle AOC$，射线OF平分$\angle BOD$，求$\angle EOF$的大小。

答案：
解:
(1) 150°　30°
(2) 设旋转时间为t s，则0 ＜ t ≤ 36，∠MOC = (5t)°。① 0 ＜ t ≤ 20时，OD与OA相遇前，∠AOD = (60 + 2t - 5t)° = (60 - 3t)°，所以∠MOC - ∠AOD = (8t - 60)°；② 20 ＜ t ≤ 36时，OD与OA相遇后，∠AOD = [5t - (60 + 2t)]° = (3t - 60)°，所以∠MOC - ∠AOD = (2t + 60)°。
(3) 设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°。① 0 ＜ n° ≤ 150°时，如图1，OE，OF在射线OB同侧。因为∠AOB = 90°，∠MOD = 60° - n°，所以∠BOD = ∠AOB + ∠MOD = (150 - n)°。因为OF平分∠BOD，所以∠BOF = $\frac{1}{2}$(150 - n)°。因为∠MOC = n°，OE平分∠AOC，所以∠MOE = $\frac{1}{2}$∠MOC = $\frac{1}{2}$n°，所以∠BOE = (90 - $\frac{1}{2}$n)°，所以∠EOF = ∠BOE - ∠BOF = 15°。② 150° ＜ n° ≤ 180°时，如图2，OE，OF在射线OB异侧。因为∠AOB = 90°，∠MOD = n° - 60°，所以∠BOD = ∠MOD - ∠AOB = (n - 150)°。因为OF平分∠BOD，所以∠BOF = $\frac{1}{2}$(n - 150)°。因为∠MOC = n°，OE平分∠AOC，所以∠MOE = $\frac{1}{2}$∠MOC = $\frac{1}{2}$n°，所以∠BOE = (90 - $\frac{1}{2}$n)°，所以∠EOF = ∠BOE + ∠BOF = 15°。综上，∠EOF = 15°。