《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

19. (长沙)计算:$|-4|+(\frac {1}{3})^{-1}-(\sqrt {2})^{2}+2035^{0}$.

答案： 解:原式$=4+3-2+1=6.$

20. (无锡)
(1)计算:$(-3)^{2}-\sqrt {25}+|-4|$;
(2)化简:$(x+2y)(x-2y)-x(x-y)$.

答案： 解:
(1)原式$=9-5+4=8.$
(2)原式$=x^{2}-4y^{2}-x^{2}+xy=-4y^{2}+xy.$

21. (金华)已知$x=\frac {1}{6}$,求$(3x-1)^{2}+(1+3x)(1-3x)$的值.

答案： 解:原式$=-6x+2$.当$x=\frac {1}{6}$时,原式$=-6×\frac {1}{6}+2=1.$

22. (河北)【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和;
【验证】如,$(2+1)^{2}+(2-1)^{2}=10$为偶数.请把$10$的一半表示为两个正整数的平方和;
【探究】设【发现】中的两个已知正整数为$m,n$,请论证【发现】中的结论正确.

答案： 解:【验证】10 的一半为$5,5=1+4=1^{2}+2^{2}.$
【探究】$(m+n)^{2}+(m-n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}+m^{2}-2mn+n^{2}=2m^{2}+2n^{2}=2(m^{2}+n^{2})$,故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.

23. (河北)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图1所示($a＞1$).某同学分别用$6$张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙),如图2和图3,其面积分别为$S_{1},S_{2}$.
(1)试用含$a$的式子分别表示$S_{1},S_{2}$.当$a=2$时,求$S_{1}+S_{2}$的值;
(2)比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小,并说明理由.

答案： 解:
(1)依题意得,三种长方形卡片的面积分别为$S_{甲}=a^{2},S_{乙}=a,S_{丙}=1$,所以$S_{1}=S_{甲}+3S_{乙}+2S_{丙}=a^{2}+3a+2,S_{2}=5S_{乙}+S_{丙}=5a+1$,所以$S_{1}+S_{2}=(a^{2}+3a+2)+(5a+1)=a^{2}+8a+3$,所以当$a=2$时,$S_{1}+S_{2}=2^{2}+8×2+3=23.$
(2)$S_{1}＞S_{2}$.理由如下:因为$S_{1}=a^{2}+3a+2,S_{2}=5a+1$,所以$S_{1}-S_{2}=(a^{2}+3a+2)-(5a+1)=a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}$.因为$a＞1$,所以$S_{1}-S_{2}=(a-1)^{2}＞0$,所以$S_{1}＞S_{2}.$