《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

11. 已知关于x的不等式组$\begin{cases}4x + 2 ＞ 3(x + a),\\2x ＞ 3(x - 2) + 5\end{cases}$仅有三个整数解,求a的取值范围.

答案： 解:由 $ 4x + 2 ＞ 3(x + a) $,解得 $ x ＞ 3a - 2 $;由 $ 2x ＞ 3(x - 2) + 5 $,解得 $ x ＜ 1 $. 由关于 $ x $ 的不等式组 $ \left\{ \begin{array} { l } { 4x + 2 ＞ 3(x + a), } \\ { 2x ＞ 3(x - 2) + 5 } \end{array} \right. $ 仅有三个整数解,则这三个整数解为 $ - 2, - 1,0 $,得 $ - 3 \leqslant 3a - 2 ＜ - 2 $,解得 $ - \frac{1}{3} \leqslant a ＜ 0 $.

12. 关于y的不等式组$\begin{cases}2y + 5 \leq 3(y + t),\\frac{y - t}{2} ＜ \frac{y}{3} - \frac{7}{6}\end{cases}$的整数解是-3,-2,-1,0,1,求参数t的取值范围.

答案： 解:$ \left\{ \begin{array} { l } { 2 y + 5 \leqslant 3 ( y + t ) \cdots ①, } \\ { \frac { y - t } { 2 } ＜ \frac { y } { 3 } - \frac { 7 } { 6 } \cdots ②, } \end{array} \right. $ 由①得 $ y \geqslant 5 - 3t $,由②得 $ y ＜ 3t - 7 $. 则不等式组的解集是 $ 5 - 3t \leqslant y ＜ 3t - 7 $. 因为不等式组的整数解是 $ - 3, - 2, - 1,0,1 $,所以 $ - 4 ＜ 5 - 3t \leqslant - 3,1 ＜ 3t - 7 \leqslant 2 $,所以 $ \frac { 8 } { 3 } ＜ t ＜ 3 $. 因为 $ 5 - 3t ＜ 3t - 7 $,所以 $ t ＞ 2 $. 综上,$ \frac { 8 } { 3 } ＜ t ＜ 3 $,故参数 $ t $ 的取值范围是 $ \frac { 8 } { 3 } ＜ t ＜ 3 $.

13. 若关于x的不等式组$\begin{cases}\frac{2x + 1}{2} + 3 ＞ - 1,\\x ＜ m\end{cases}$的所有整数解的和是-9,求m的取值范围.

答案： 解:$ \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 1 } { 2 } + 3 ＞ - 1 \cdots ①, } \\ { x ＜ m \cdots ②, } \end{array} \right. $ 由①得 $ x ＞ - \frac { 9 } { 2 } $,由②得 $ x ＜ m $,故原不等式组的解集为 $ - \frac { 9 } { 2 } ＜ x ＜ m $. 又因为不等式组的所有整数解的和是 $ - 9 $,所以当 $ m ＜ 0 $ 时,整数解一定是 $ - 4, - 3, - 2 $,由此可以得到 $ - 2 ＜ m \leqslant - 1 $;当 $ m ＞ 0 $ 时,整数解一定是 $ - 4, - 3, - 2, - 1,0,1 $,则 $ 1 ＜ m \leqslant 2 $. 故 $ m $ 的取值范围是 $ - 2 ＜ m \leqslant - 1 $ 或 $ 1 ＜ m \leqslant 2 $.

14. 已知关于x的不等式组$\begin{cases}x + 1 ＞ m,\\x - 1 \leq n\end{cases}$有解.
(1)若不等式组的解集与$\begin{cases}1 - 2x ＜ 5,\\frac{3x - 1}{2} \leq 4\end{cases}$的解集相同,求$m + n$的值;
(2)若不等式组恰好只有4个整数解.
①若$m = - 1$,求n的取值范围;
②若$n = 2m$,求m的取值范围.

答案：
解:
(1)解不等式组 $ \left\{ \begin{array} { l } { 1 - 2 x ＜ 5, } \\ { \frac { 3 x - 1 } { 2 } \leqslant 4, } \end{array} \right. $ 得 $ - 2 ＜ x \leqslant 3 $. 解不等式 $ x + 1 ＞ m $,得 $ x ＞ m - 1 $,解不等式 $ x - 1 \leqslant n $,得 $ x \leqslant n + 1 $. 由题意得 $ m - 1 = - 2,n + 1 = 3 $,解得 $ m = - 1,n = 2 $,所以 $ m + n = - 1 + 2 = 1 $.
(2)① $ m = - 1 $ 时,关于 $ x $ 的不等式组 $ \left\{ \begin{array} { l } { x + 1 ＞ m, } \\ { x - 1 \leqslant n } \end{array} \right. $ 的解集为 $ - 2 ＜ x \leqslant n + 1 $,因为不等式组恰好只有 4 个整数解,所以 4 个整数解是 $ - 1,0,1,2 $,所以 $ 2 \leqslant n + 1 ＜ 3 $,即 $ 1 \leqslant n ＜ 2 $.
② $ n = 2m $ 时,关于 $ x $ 的不等式组 $ \left\{ \begin{array} { l } { x + 1 ＞ m, } \\ { x - 1 \leqslant n } \end{array} \right. $ 的解集为 $ m - 1 ＜ x \leqslant 2m + 1 $,$ 2m + 1 - ( m - 1 ) = m + 2 $. 因为不等式组恰好只有 4 个整数解,所以 $ 3 ＜ m + 2 ＜ 5 $,解得 $ 1 ＜ m ＜ 3 $,所以 $ 0 ＜ m - 1 ＜ 2,3 ＜ 2m + 1 ＜ 7 $. 当 $ 0 ＜ m - 1 ＜ 1 $,即 $ 1 ＜ m ＜ 2 $ 时,如图 1,
　　　　　
必须满足 $ 4 \leqslant 2 m + 1 ＜ 5 $,所以 $ \frac { 3 } { 2 } \leqslant m ＜ 2 $. 当 $ 1 \leqslant m - 1 ＜ 2 $,即 $ 2 \leqslant m ＜ 3 $ 时,如图 2,
　　　　　
必须满足 $ 5 \leqslant 2 m + 1 ＜ 6 $,所以 $ 2 \leqslant m ＜ \frac { 5 } { 2 } $. 综上,$ \frac { 3 } { 2 } \leqslant m ＜ \frac { 5 } { 2 } $.