《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

12. 某地突发地震,为了紧急安置40名地震灾民,需要搭建可容纳6人或4人的帐篷,若所搭建的帐篷恰好(既不多也不少)能容纳这40名灾民,则不同的搭建方案有 ( )
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 6种

答案： 1. 设容纳$6$人的帐篷有$x$顶，容纳$4$人的帐篷有$y$顶：
根据题意可列方程$6x + 4y=40$，化简得$3x + 2y = 20$，进一步变形为$y=\frac{20 - 3x}{2}=10-\frac{3x}{2}$。
2. 因为$x$，$y$均为非负整数：
所以$x$必须是$2$的倍数。
当$x = 0$时：
$y=\frac{20-3×0}{2}=10$。
当$x = 2$时：
$y=\frac{20 - 3×2}{2}=\frac{20 - 6}{2}=7$。
当$x = 4$时：
$y=\frac{20-3×4}{2}=\frac{20 - 12}{2}=4$。
当$x = 6$时：
$y=\frac{20-3×6}{2}=\frac{20 - 18}{2}=1$。
当$x = 8$时：
$y=\frac{20-3×8}{2}=\frac{20 - 24}{2}=-2$（舍去，因为$y$不能为负数）。
所以不同的搭建方案有$4$种，答案是C。

13. 某公司用A,B两种型号的车给全市超市配送消毒液.已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货16t;用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货20t.根据以上信息,解答下列问题:
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨?
(2)该公司现有24t消毒液需要配送,若计划同时租用A,B两种型号的车配送消毒液,恰好一次配送完,且每辆车都装满,已知A型车的租金为300元/辆,B型车的租金为520元/辆,请设计出最少的租车费用方案.

答案： $(1)$ 求$1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车都装满货物一次可分别运货多少吨
设$1$辆$A$型车装满货物一次可运货$x$吨，$1$辆$B$型车装满货物一次可运货$y$吨。
根据题意可列方程组$\begin{cases}2x + y = 16 \\ x + 2y = 20 \end{cases}$
解方程组：
由$2x + y = 16$可得$y = 16 - 2x$。
将$y = 16 - 2x$代入$x + 2y = 20$中，得到$x + 2(16 - 2x) = 20$。
展开括号：$x + 32 - 4x = 20$。
移项：$x - 4x = 20 - 32$。
合并同类项：$-3x = -12$。
解得：$x = 4$。
将$x = 4$代入$y = 16 - 2x$，得$y = 16 - 2×4 = 8$。
所以$1$辆$A$型车装满货物一次可运货$4$吨，$1$辆$B$型车装满货物一次可运货$8$吨。
$(2)$ 设计最少的租车费用方案
设租用$A$型车$m$辆，$B$型车$n$辆。
根据题意可得$4m + 8n = 24$，化简得$m + 2n = 6$，则$m = 6 - 2n$。
因为$m$，$n$均为正整数，所以有以下几种情况：
当$n = 1$时，$m = 6 - 2×1 = 4$，此时租车费用为$300×4 + 520×1 = 1200 + 520 = 1720$（元）。
当$n = 2$时，$m = 6 - 2×2 = 2$，此时租车费用为$300×2 + 520×2 = 600 + 1040 = 1640$（元）。
当$n = 3$时，$m = 6 - 2×3 = 0$（不符合同时租用$A$，$B$两种型号的车的要求，舍去）。
比较$1720$与$1640$的大小，$1720＞1640$。
所以租用$A$型车$2$辆，$B$型车$2$辆时租车费用最少。
综上，答案为：$(1)$$1$辆$A$型车装满货物一次可运货$\boldsymbol{4}$吨，$1$辆$B$型车装满货物一次可运货$\boldsymbol{8}$吨；$(2)$租用$A$型车$2$辆，$B$型车$2$辆。

14. 篮球联赛中每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分,某队在10场比赛中得到16分,那么这个队负的场数是 ( )
A. 4场 B. 5场 C. 6场 D. 7场

答案： 本题可通过设未知数，根据比赛总场数和总得分列出方程，进而求解负的场数。
- **步骤一：设未知数
设这个队负的场数是$x$场，因为一共比赛$10$场，所以胜的场数是$(10 - x)$场。
- **步骤二：根据得分规则列方程
已知每队胜$1$场得$2$分，负$1$场得$1$分，某队在$10$场比赛中得到$16$分，根据“胜场得分$+$负场得分$=$总得分”可列方程：
$2(10 - x)+x = 16$
- **步骤三：解方程
去括号：根据乘法分配律$a(b-c)=ab-ac$，可得$2×10 - 2x + x = 16$，即$20 - 2x + x = 16$。
合并同类项：$-2x + x=-x$，则方程变为$20 - x = 16$。
移项：将常数项移到等号右边，可得$-x = 16 - 20$，即$-x = -4$。
系数化为$1$：方程两边同时除以$-1$，得到$x = 4$。
所以这个队负的场数是$4$场，答案选A。

15. 有24支队伍260名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛,则排球队有______支队伍参赛.

答案： 1. 设排球队有$x$支队伍参赛：
因为总共有$24$支队伍，所以篮球队有$(24 - x)$支队伍参赛。
已知每支篮球队$10$人，每支排球队$12$人，且总共有$260$名运动员，根据“篮球队人数+排球队人数 = 总运动员人数”可列方程：
$12x+10(24 - x)=260$。
2. 解方程：
首先展开括号：
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，$10(24 - x)=10×24-10x = 240-10x$，则原方程变为$12x + 240-10x=260$。
然后合并同类项：
对于$12x+240 - 10x$，$12x-10x=(12 - 10)x = 2x$，方程化为$2x+240 = 260$。
接着移项：
把$240$移到等号右边，根据等式性质$a + b=c$，则$a=c - b$，得到$2x=260 - 240$。
计算$260 - 240 = 20$，即$2x=20$。
最后求解$x$：
根据等式性质$ax = b(a\neq0)$，$x=\frac{b}{a}$，这里$a = 2$，$b = 20$，则$x=\frac{20}{2}=10$。
所以排球队有$10$支队伍参赛。

16. 某车间有90名工人,每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个,已知一个螺栓配套两个螺帽,应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套? 则生产螺帽和生产螺栓的人数分别为 ( )
A. 50人,40人 B. 30人,60人
C. 40人,50人 D. 60人,30人

答案： 1. 设生产螺栓的工人数为$x$人，则生产螺帽的工人数为$(90 - x)$人：
已知每人每天平均能生产螺栓$15$个或螺帽$24$个，因为一个螺栓配套两个螺帽，所以螺帽的数量是螺栓数量的$2$倍。
螺栓的数量为$15x$个，螺帽的数量为$24(90 - x)$个。
根据配套关系可列方程：$2×15x=24(90 - x)$。
2. 解方程：
首先展开方程左边和右边：
方程$2×15x = 24(90 - x)$，左边$2×15x=30x$，右边$24×90-24x = 2160-24x$。
则原方程变为$30x=2160 - 24x$。
然后移项：
把含有$x$的项移到等号左边，得$30x + 24x=2160$。
接着合并同类项：
根据合并同类项法则$ax+bx=(a + b)x$，$30x+24x=(30 + 24)x=54x$，所以$54x = 2160$。
最后求解$x$：
两边同时除以$54$，$x=\frac{2160}{54}=40$。
那么生产螺帽的人数为$90 - x=90 - 40 = 50$（人）。
所以生产螺帽和生产螺栓的人数分别为$50$人，$40$人，答案是A。

17. 在手工制作课上,老师组织七(2)班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七(2)班共有学生50人,其中男生人数比女生人数少2人,并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个.
(1)七(2)班有男生、女生各多少人?
(2)原计划男生负责剪筒底,女生负责剪筒身,要求一个筒身配两个筒底,那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗? 如果不配套,那么男生应向女生支援多少人,才能使每小时剪出的筒身与筒底配套?

答案： $(1)$求七$(2)$班男生、女生的人数
设七$(2)$班女生有$x$人，因为男生人数比女生人数少$2$人，则男生有$(x - 2)$人。
已知七$(2)$班共有学生$50$人，可列方程：
$x+(x - 2)=50$
去括号得：$x+x - 2=50$
移项得：$x+x=50 + 2$
合并同类项得：$2x=52$
系数化为$1$得：$x = 26$
则男生人数为：$x - 2=26 - 2=24$（人）
所以，七$(2)$班有男生$24$人，女生$26$人。
$(2)$判断每小时剪出的筒身与筒底是否配套，若不配套求男生应向女生支援的人数
步骤一：计算原计划每小时剪出筒身与筒底的数量
已知女生$26$人，每名学生每小时剪筒身$40$个，则女生每小时剪出筒身的数量为：$26×40 = 1040$（个）
男生$24$人，每名学生每小时剪筒底$120$个，则男生每小时剪出筒底的数量为：$24×120 = 2880$（个）
因为一个筒身配两个筒底，那么$1040$个筒身需要筒底的数量为：$1040×2 = 2080$（个）
由于$2880\neq2080$，所以原计划每小时剪出的筒身与筒底不配套。
步骤二：设男生应向女生支援$y$人，根据配套关系列方程求解
支援后，女生人数为$(26 + y)$人，男生人数为$(24 - y)$人。
此时女生每小时剪出筒身的数量为$40×(26 + y)$个，男生每小时剪出筒底的数量为$120×(24 - y)$个。
根据一个筒身配两个筒底的配套关系，可列方程：$2×40×(26 + y)=120×(24 - y)$
去括号得：$2080+80y = 2880-120y$
移项得：$80y+120y = 2880 - 2080$
合并同类项得：$200y = 800$
系数化为$1$得：$y = 4$
所以，每小时剪出的筒身与筒底不配套，男生应向女生支援$4$人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套。
综上，答案依次为：$(1)$男生$\boldsymbol{24}$人，女生$\boldsymbol{26}$人；$(2)$不配套，$\boldsymbol{4}$人。