《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

21. （12分）对$m$，$n$定义一种新运算“$\triangledown$”，规定：$m \triangledown n = am - bn + 5$（其中$a$，$b$均为非零常数），等式右边的运算通常的四则运算，例如：$5 \triangledown 6 = 5a - 6b + 5$.
（1）已知$2 \triangledown 3 = 1$，$3 \triangledown (-1) = 10$.
①求$a$，$b$的值；
②若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x \triangledown (2x - 3) ＜ 9, \\3x \triangledown (-6) \leqslant t\end{cases}$有且只有两个整数解，求$t$的取值范围；
（2）若运算“$\triangledown$”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数$m$，$n$，结论“$m \triangledown n = n \triangledown m$”都成立，试探究$a$，$b$应满足的关系.

答案： 解:
(1)①因为2▽3 = 1，3▽(-1) = 10，所以$\begin{cases}2a - 3b + 5 = 1, \\3a + b + 5 = 10,\end{cases}$解得a = 1，b = 2。
②因为$\begin{cases}x▽(2x - 3) ＜ 9, \\3x▽(-6) ≤ t,\end{cases}$由①知a = 1，b = 2，所以xa - (2x - 3)b + 5 = -3x + 11 ＜ 9，3xa - (-6)b + 5 = 3x + 17 ≤ t，即$\begin{cases}-3x + 11 ＜ 9, \\3x + 17 ≤ t,\end{cases}$解得$\begin{cases}x ＞ \frac{2}{3}, \\x ≤ \frac{t - 17}{3}.\end{cases}$因为关于x的不等式组$\begin{cases}x▽(2x - 3) ＜ 9, \\3x▽(-6) ≤ t\end{cases}$有且只有两个整数解，所以2 ≤ $\frac{t - 17}{3}$ ＜ 3，解得23 ≤ t ＜ 26，即t的取值范围是23 ≤ t ＜ 26。
(2)因为m▽n = n▽m，所以ma - nb + 5 = na - mb + 5，所以ma - nb - na + mb = 0，所以m(a + b) - n(a + b) = 0，所以(a + b)(m - n) = 0。因为m，n为任意数，所以m - n不一定等于0，所以a + b = 0，即a，b所应满足的关系式是a + b = 0。

22. （12分）学校计划组织学生编织大、小两种中国结. 编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20 m，编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13 m.
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；
（2）学校决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165 m，那么最多能编织多少个大号中国结？

答案： 解:
(1)设编织1个大号中国结需用绳x m，编织1个小号中国结需用绳y m。由题意得$\begin{cases}2x + 4y = 20, \\x + 3y = 13,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 4, \\y = 3.\end{cases}$
∴编织1个大号中国结需用绳4 m，编织1个小号中国结需用绳3 m。
(2)能编织m个大号中国结，则编织(50 - m)个小号中国结，由题意得4m + 3(50 - m) ≤ 165，解得m ≤ 15。
∴最多能编织15个大号中国结。

23. （14分）为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.
（1）购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具$m$件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少？

答案： 解:
(1)设购进1件甲种农机具需要x万元，购进1件乙种农机具需要y万元。根据题意，得$\begin{cases}2x + y = 3.5, \\x + 3y = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1.5, \\y = 0.5.\end{cases}$
∴购进1件甲种农机具需要1.5万元，购进1件乙种农机具需要0.5万元。
(2)因为购进甲种农机具m件，所以购进乙种农机具(10 - m)件。根据题意，得$\begin{cases}1.5m + 0.5(10 - m) ≥ 9.8, \\1.5m + 0.5(10 - m) ≤ 12,\end{cases}$解得4.8 ≤ m ≤ 7。又因为m为整数，所以m可以取5，6，7，所以共有3种购买方案。方案1:购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案2:购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案3:购进甲种农机具7件，乙种农机具3件。
(3)方案1所需资金为1.5×5 + 0.5×5 = 10(万元)；方案2所需资金为1.5×6 + 0.5×4 = 11(万元)；方案3所需资金为1.5×7 + 0.5×3 = 12(万元)。因为10 ＜ 11 ＜ 12，所以方案1所需资金最少，最少资金是10万元。