《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

1. 先阅读下面的材料，再分解因式.
要把多项式 $ am + an + bm + bn $ 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 $ a $，再把它的后两项分成一组，并提出 $ b $，从而得 $ am + an + bm + bn = a(m + n) + b(m + n) $.
这时，由于 $ a(m + n) + b(m + n) $ 中又有公因式 $ (m + n) $，于是可提公因式 $ (m + n) $，从而得到 $ (m + n)(a + b) $，因此有 $ am + an + bm + bn = (am + an) + (bm + bn) = a(m + n) + b(m + n) = (m + n)(a + b) $.
这种因式分解的方法叫作分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.
请用上面材料中提供的方法因式分解：
(1) $ m^{2} - mn + mx - nx $；
(2) $ x^{5} - x^{3} + x^{2} - x $；
(3) $ 4a^{2} + 4b - 1 - 4b^{2} $.

答案： 解:
(1)原式=m(m−n)+x(m−n)=(m+x)(m−n).
(2)原式$=(x^5 - x^3)+(x^2 - x)=x^3(x^2 - 1)+x(x - 1)=x(x - 1)(x^3 + x^2 + 1).(3)$原式=4a²−(1−4b+4b²)=4a²−(1−2b)²=(2a+2b−1)(2a−2b+1).

2. 计算 $ (ax + b)(cx + d) = acx^{2} + adx + bcx + bd = acx^{2} + (ad + bc)x + bd $，倒过来写可得 $ acx^{2} + (ad + bc)x + bd = (ax + b) \cdot (cx + d) $.
我们就得到一个关于 $ x $ 的二次三项式的因式分解的一个新的公式，我们观察公式左边，二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，这种因式分解的方法叫作十字交叉相乘法. 如图1所示.
示例：因式分解：$ 12x^{2} - 5x - 2 $.
解：由图2可知：
$ 12x^{2} - 5x - 2 = (3x - 2)(4x + 1) $.
请根据示例，对下列多项式因式分解：
(1) $ y^{2} - 7y + 12 $； (2) $ 11x - x^{2} - 18 $；
(3) $ 6x^{2} - 7x - 3 $；
(4) $ (x^{2} + x)^{2} - 8(x^{2} + x) + 12 $.

答案：
解:
(1)12可以分解为(−3)×(−4),并且(−3)+(−4)=-7,因此y²−7y+12=(y−3)(y−4).
　　　　　　　　
(2)先把11x−x²−18写成−x²+11x−18,二次项系数为−1,应当提取出来，变成二次项系数为+1,因此11x−x²−18=−(x²−11x+18),根据十字相乘法得11x−x²−18=−(x²−11x+18)=−(x−2)(x−9).
　　　　　　　　　
　　　　　　　　1x(−9)+1×(−2)=−11
(3)6可以分解成2×3,−3可以分解成(−3)×1,所以根据十字相乘法得6x²−7x−3=(2x−3)(3x+1).

(4)把$x^2 + x$整体看成一个字母a，运用十字相乘法，分解二次三项式a²−8a+12=(a−2)(a−6),再把a=x²+x代入，继续完成分解.
(x²+x)²−8(x²+x)+12=(x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2).