《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

6. 如图，已知线段$AB = 4$，延长AB到点C，使得$AB = 2BC$，反向延长AB到点D，使$AC = 2AD$。
(1)求线段CD的长；
(2)若Q为AB的中点，P为线段CD上一点，且$BP = \frac{1}{2}BC$，求线段PQ的长。

答案： 解:
(1) 因为 $ AB = 4 $, $ AB = 2BC $, 所以 $ BC = 2 $, 所以 $ AC = AB + BC = 6 $. 因为 $ AC = 2AD $, 所以 $ AD = 3 $, 所以 $ CD = AC + AD = 6 + 3 = 9 $.
(2) 因为 $ Q $ 为 $ AB $ 中点, 所以 $ BQ = \frac{1}{2}AB = 2 $. 因为 $ BP = \frac{1}{2}BC $, 所以 $ BP = 1 $. 当点 $ P $ 在 $ B $, $ C $ 之间时, $ PQ = BP + BQ = 1 + 2 = 3 $; 当点 $ P $ 在 $ A $, $ B $ 之间时, $ PQ = BQ - BP = 2 - 1 = 1 $. 即 $ PQ $ 的长为 $ 1 $ 或 $ 3 $.

7. 如图，线段$AB = 16$，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点。
(1)如图1，求线段AD的长；
(2)如图2，点N是线段AC上的一点，且满足$NC = 3AN$，求DN的长度；
(3)在(2)的条件下，点M是线段AB上的一点，且$MC = 2$，求MN的长。

答案：
解:
(1) 因为点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的中点, 点 $ D $ 是线段 $ BC $ 的中点, 所以 $ BC = AC = \frac{1}{2}AB $, $ BD = \frac{1}{2}BC $, 所以 $ BD = \frac{1}{4}AB $. 因为 $ AB = 16 $, $ AD = AB - BD $, 所以 $ AD = 12 $.
(2) 因为 $ NC = 3AN $, 所以设 $ AN = x $, 则 $ NC = 3x $. 因为 $ AC = \frac{1}{2}AB = 8 $, 所以 $ x + 3x = 8 $, 解得 $ x = 2 $, 所以 $ AN = 2 $, $ NC = 6 $. 因为 $ DN = AD - AN $, 所以 $ DN = 10 $.
(3) ① 当点 $ M $ 在点 $ C $ 左边时, 如图所示.
因为 $ NC = 6 $, $ MC = 2 $, 所以 $ MN = NC - MC = 4 $.
② 当点 $ M $ 在点 $ C $ 右边时, 如图所示.
因为 $ NC = 6 $, $ MC = 2 $, 所以 $ MN = NC + MC = 8 $.
综上所述, $ MN $ 的长是 $ 4 $ 或 $ 8 $.

8. 如图，动点B在线段AD上，沿$A→D→A$以$2cm/s$的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，$AD = 10cm$，设点B的运动时间为$t(0\leq t\leq 10)s$。
(1)当$t = 2$时。
①$AB =$______cm；
②求线段CD的长度；
(2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度。

答案： 解:
(1) ① $ 4 $
② $ BD = AD - AB = 10 - 4 = 6(\text{cm}) $, 因为 $ C $ 是线段 $ BD $ 的中点, 所以 $ CD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} × 6 = 3(\text{cm}) $.
(2) 点 $ B $ 沿点 $ A \to D $ 运动时, $ AB = 2t \text{ cm} $. 点 $ B $ 沿 $ D \to A $ 运动时, $ AB = (20 - 2t)\text{cm} $. 综上, $ AB $ 的长为 $ 2t \text{ cm} $ 或 $ (20 - 2t)\text{cm} $.

9. 如图，线段$AB = 20cm$，C为AB的中点，点P从点A出发，以$2cm/s$的速度沿线段AB向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以$1cm/s$的速度沿线段AB向左运动，到点A停止。若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止。设点P的运动时间为$x(x ＞ 0)s$。
(1)$AC =$______cm；
(2)是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由。

答案：
解:
(1) $ 10 $
(2) 存在. 依题意得 $ AP = 2x \text{ cm} $, $ BQ = x \text{ cm} $, 由
(1) 可知 $ AC = BC = 10 \text{ cm} $, 分三种情况讨论如下:
① 当点 $ C $ 为 $ PQ $ 的中点时, 则 $ PC = QC $, 如图 1 所示.
因为 $ PC = AC - AP = (10 - 2x)\text{cm} $, $ QC = BC - BQ = (10 - x)\text{cm} $, 所以 $ 10 - 2x = 10 - x $, 解得 $ x = 0 $ (不合题意, 舍去).
② 当点 $ P $ 为 $ CQ $ 的中点时, 则 $ PC = PQ $, 如图 2 所示.
因为 $ PC = AP - AC = (2x - 10)\text{cm} $, 所以 $ BP = AB - AP = (20 - 2x)\text{cm} $, 所以 $ PQ = BP - BQ = 20 - 2x - x = (20 - 3x)\text{cm} $, 所以 $ 2x - 10 = 20 - 3x $, 解得 $ x = 6 $.
③ 当 $ Q $ 为 $ PC $ 的中点时, 则 $ PC = 2CQ $, 如图 3 所示.
因为 $ PC = AP - AC = (2x - 10)\text{cm} $, $ CQ = BC - BQ = (10 - x)\text{cm} $, 所以 $ 2x - 10 = 2(10 - x) $, 解得 $ x = 7.5 $. 综上所述, 当 $ x = 6 \text{ s} $ 或 $ 7.5 \text{ s} $ 时, $ C $, $ P $, $ Q $ 三点中, 有一点恰为另外两点所连线段的中点.