《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

7. 为拓展学生视野,促进书本知识与生活实践的深度融合,某市某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动.在此次活动中,若每位老师带队14名学生,则还剩10名学生没老师带;若每位老师带队15名学生,就有一位老师少带6名学生,现有甲、乙两种大型客车,它们的载客量和租金如表所示:
| |甲型客车|乙型客车|
|----|----|----|
|载客量/(人/辆)|35|30|
|租金/(元/辆)|400|320|
学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元,为安全起见,每辆客车上至少要有2名老师.
(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人?
(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆车上至少要有2名老师,可知租车总辆数为____辆.
(3)学校共有几种租车方案?最少租车费用是多少?

答案： 解: 设参加此次研学活动的老师有 x 人, 学生有 y 人. 依题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}14x + 10 = y,\\ 15x - 6 = y,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x = 16,\\ y = 234.\end{array}\right.$
答: 参加此次研学活动的老师有 16 人, 学生有 234 人.
(2) 8 [解析] 因为 $(234 + 16) ÷ 35 = 7$ (辆) $\cdots \cdots 5$ (人), 所以最少租 8 辆车. 因为 $16 ÷ 2 = 8$ (辆), 所以最多租 8 辆车, 所以租车总辆数为 8 辆.
(3) 设租甲型客车 m 辆, 则租乙型客车 $(8 - m)$ 辆.
依题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}35m + 30(8 - m) \geq 234 + 16,\\ 400m + 320(8 - m) \leq 3000,\end{array}\right.$ 解得 $2 \leq m \leq 5 \frac{1}{2}$.
因为 m 为正整数, 所以 $m = 2, 3, 4, 5$, 所以共有 4 种租车方案. 设租车总费用为 w 元, 则 $w = 400m + 320(8 - m) = 80m + 2560$.
方案一: 当 $m = 2$ 时, $w = 80m + 2560 = 2720$ (元). 方案二: 当 $m = 3$ 时, $w = 80m + 2560 = 2800$ (元). 方案三: 当 $m = 4$ 时, $w = 80m + 2560 = 2880$ (元). 方案四: 当 $m = 5$ 时, $w = 80m + 2560 = 2960$ (元). 所以当 $m = 2$ 时, w 取得最小值, 最小值为 2720. 所以学校共有 4 种租车方案, 最少租车费用是 2720 元.

8. 某工厂准备用图1所示的A型正方形板材和B型长方形板材,制作成图2所示的竖式和横式两种无盖箱子.
(1)若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A,B两种型号板材,并全部制作竖式箱子,已知A型板材每张30元,B型板材每张90元,求最多可以制作竖式箱子多少个;
(2)①若该工厂仓库里现有A型板材30张、B型板材100张,用这批板材制作两种类型的箱子,问:制作竖式和横式两种箱子各多少个,恰好将库存的板材用完?
②若该工厂新购得78张规格为$(3×3)m$的C型正方形板材,将其全部切割成A型或B型板材(不计损耗),用切割成的板材制作两种类型的箱子,要求横式箱子不少于30个,且材料恰好用完,则能制作两种箱子共____个.(不写过程,直接写出答案)

答案： 解:
(1) 设可制作竖式箱子 x 个, 则需 A 型板材 x 张, B 型板材 4x 张.
根据题意, 得 $30x + 90 × 4x \leq 10000$, 解得 $x \leq 25 \frac{25}{39}$.
答: 最多可以制作竖式箱子 25 个.
(2) ① 设制作竖式箱子 a 个, 横式箱子 b 个.
根据题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}a + 2b = 30,\\ 4a + 3b = 100,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a = 22,\\ b = 4.\end{array}\right.$
答: 制作竖式箱子为 22 个, 横式箱子为 4 个, 恰好将库存的板材用完.
② 60 或 62 [解析] 设制作竖式箱子 a 个, 横式箱子 b 个, 设裁剪出 B 型板材 m 张, 则可裁 A 型板材 $(78 × 9 - 3m)$ 张. 由题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}a + 2b = 78 × 9 - 3m,\\ 4a + 3b = m,\end{array}\right.$ 整理得 $13a + 11b = 78 × 9$, 所以 $a = \frac{78 × 9 - 11b}{13} = 54 - \frac{11}{13}b$. 因为 a, b 都为整数, 且 $b \geq 30$, 所以 b 是 13 的整数倍, 当 $b = 39$ 时, $a = 54 - 11 × 3 = 21$, 符合题意, 此时, $a + b = 60$; 当 $b = 52$ 时, $a = 54 - 11 × 4 = 10$, 符合题意, 此时, $a + b = 62$; 当 $b = 65$ 时, $a = 54 - 11 × 5 = -1 ＜ 0$, 不符合题意.