《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

22. （12分）某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用800元购进A型文具袋的数量与用1000元购进B型文具袋的数量相同. 解答下列问题：
（1）每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元？
（2）设该超市购进B型文具袋m个.
①若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少50个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过910个，该超市最多购进B型文具袋多少个？
②在①的条件下，若A型、B型文具袋的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的A型、B型文具袋全部售出后，可使总利润超过3795元，则该超市购进两种文具袋共有____种方案.

答案： 解:
(1)设每个A型文具袋的进价是x元,则每个B型文具袋的进价是$(x+2)$元.
根据题意,得$\frac {800}{x}=\frac {1000}{x+2}$,解得$x=8$.经检验,$x=8$是所列方程的解,且符合题意.$x+2=8+2=10$.
所以每个A型文具袋的进价是8元,每个B型文具袋的进价是10元.
(2)①因为购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少50个,且该超市购进B型文具袋m个,所以该超市购进A型文具袋$(3m-50)$个.根据题意得$3m-50+m≤910$,解得$m≤240$,所以m的最大值为240.
所以该超市最多购进B型文具袋240个.
②5 [解析]根据题意得$(12-8)(3m-50)+(15-10)m＞3795$,解得$m＞235$.又因为$m≤240$,且m为正整数,所以m的值可以为236,237,238,239,240,所以该超市购进两种文具袋共有5种方案.

23. （14分）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“和雅式”，这个常数称为A关于B的“和雅值”.
如分式$A=\frac{2x}{x+1}$，$B=\frac{-2}{x+1}$，$A-B=\frac{2x}{x+1}-\frac{-2}{x+1}=\frac{2x+2}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}=2$，则A是B的“和雅式”，A关于B的“和雅值”为2.
（1）已知分式$C=\frac{1}{x+2}$，$D=\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}+4x+4}$，判断C是否为D的“和雅式”？请说明理由；
（2）已知分式$M=\frac{(x-b)(x-1)}{x}$，$N=\frac{x(x-a)}{x}$，M是N的“和雅式”，且M关于N的“和雅值”是1，求a+b的值；
（3）已知分式$P=\frac{E}{9-x^{2}}$，$Q=\frac{x}{3-x}$，P是Q的“和雅式”，且P关于Q的“和雅值”是1，x为整数，且P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和.

答案： 解:
(1)C不是D的“和雅式”.理由:因为$C-D=\frac {1}{x+2}-\frac {(x+2)(x+3)}{(x+2)^{2}}=\frac {1-(x+3)}{x+2}=\frac {-x-2}{x+2}=-1＜0$,所以C不是D的“和雅式”.
(2)由题意得,$M-N=1$,所以$\frac {(x-b)(x-1)}{x}-\frac {x(x-a)}{x}=1$,所以$(2-a+b)x=b$,所以$2-a+b=0,b=0$,解得$a=2,b=0$,所以$a+b=2$.
(3)由题意得,$P-Q=1$,所以$\frac {E}{(3+x)(3-x)}-\frac {x}{3-x}=1$,所以$E=3x+9$,所以$P=\frac {E}{9-x^{2}}=\frac {3}{3-x}$.又因为P的值为整数,x为整数,所以$3-x$的值为$\pm 1$或$\pm 3$,所以x的值为0,2,4,6,所以$0+2+4+6=12$.故E所代表的代数式为$3x+9$,所有符合条件的x的值之和为12.