《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

1. 某中学计划为绘画小组购买某种品牌的A,B两种型号的颜料,若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元;若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元.
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元;
(2)该中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒,总费用不超过3920元,那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料?

答案： 解:
(1) 设每盒 A 种型号的颜料 x 元, 每盒 B 种型号的颜料 y 元. 根据题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}x + 2y = 56,\\ 2x + y = 64,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x = 24,\\ y = 16.\end{array}\right.$ 答: 每盒 A 种型号的颜料 24 元, 每盒 B 种型号的颜料 16 元.
(2) 设该中学可以购买 a 盒 A 种型号的颜料. 根据题意, 得 $24a + 16(200 - a) \leq 3920$, 解得 $a \leq 90$. 答: 该中学最多可以购买 90 盒 A 种型号的颜料.

2. 为增强学生体质,丰富学生课余活动,学校决定添置一批篮球和足球.甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球,已知篮球价格为200元/个,足球价格为150元/个.
(1)若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个,且购买篮球的数量多于购买足球数量的$\frac {2}{3}$,学校有哪几种购买方案?
(2)若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案:甲商场累计购物超过500元后,超出500元的部分按90%收费;乙商场累计购物超过2000元后,超出2000元的部分按80%收费.若学校按(1)中的方案购买,学校到哪家商场购买花费少?

答案： 解:
(1) 设购买篮球 x 个, 则购买足球 $(20 - x)$ 个. 由题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}x ＞ \frac{2}{3}(20 - x),\\ 200x + 150(20 - x) \leq 3550,\end{array}\right.$ 解得 $8 ＜ x \leq 11$. 因为 x 取正整数, 所以 $x = 9, 10, 11$, 所以 $20 - x = 11, 10, 9$.
答: 学校一共有 3 种购买方案, 方案一: 购买篮球 9 个, 购买足球 11 个. 方案二: 购买篮球 10 个, 购买足球 10 个. 方案三: 购买篮球 11 个, 购买足球 9 个.
(2) ① 当购买篮球 9 个, 购买足球 11 个时, 甲商场的费用: $500 + 0.9 × (200 × 9 + 150 × 11 - 500) = 3155$ (元), 乙商场的费用: $2000 + 0.8 × (200 × 9 + 150 × 11 - 2000) = 3160$ (元), 因为 $3155 ＜ 3160$, 所以学校到甲商场购买花费少.
② 当购买篮球 10 个, 购买足球 10 个时, 甲商场的费用: $500 + 0.9 × (200 × 10 + 150 × 10 - 500) = 3200$ (元), 乙商场的费用: $2000 + 0.8 × (200 × 10 + 150 × 10 - 2000) = 3200$ (元), 因为 $3200 = 3200$, 所以学校到甲商场和乙商场购买花费一样.
③ 当购买篮球 11 个, 购买足球 9 个时, 甲商场的费用: $500 + 0.9 × (200 × 11 + 150 × 9 - 500) = 3245$ (元), 乙商场的费用: $2000 + 0.8 × (200 × 11 + 150 × 9 - 2000) = 3240$ (元), 因为 $3245 ＞ 3240$, 所以学校到乙商场购买花费少.

3. 在“城乡清洁工程”中,某环卫队租来若干辆载质量为8吨的汽车运一批建筑垃圾,若每辆汽车只装4吨,则剩下20吨建筑垃圾;若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不满也不空.该环卫队租了多少辆汽车?

答案： 解: 设该环卫队租了 x 辆汽车, 则有 $(4x + 20)$ 吨建筑垃圾. 由题意, 得 $0 ＜ (4x + 20) - 8(x - 1) ＜ 8$, 解得 $5 ＜ x ＜ 7$. 因为 x 为正整数, 所以 $x = 6$. 答: 该环卫队租了 6 辆汽车.