《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

18. （8分）如图，BE平分$∠ABC$交CD的延长线于E，$∠ABC=2∠E$，$∠ADE=∠BCD$.
（1）请说明$AB// EF$的理由；
（2）若AF平分$∠BAD$交DC的延长线于点F，判断AF与BE的位置关系，并说明理由.

答案： 解:
(1)因为 $BE$ 平分 $\angle ABC$，所以 $\angle ABC = 2\angle ABE$。因为 $\angle ABC = 2\angle E$，所以 $\angle ABE = \angle E$，所以 $AB // EF$。
(2)$AF \perp BE$。理由如下:因为 $\angle ADE = \angle BCD$，所以 $AD // BC$，所以 $\angle DAB + \angle CBA = 180^{\circ}$。因为 $BE$ 平分 $\angle ABC$，$AF$ 平分 $\angle BAD$，所以 $\angle ABC = 2\angle ABE$，$\angle BAD = 2\angle BAF$，所以 $2\angle ABE + 2\angle BAF = 180^{\circ}$，所以 $\angle ABE + \angle BAF = 90^{\circ}$，所以 $\angle AOB = 90^{\circ}$，所以 $AF \perp BE$。

19. （10分）如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，连接ED，FG交于点H，连接CE并延长到点M，$∠CED=∠GHD$，$∠C=∠EFG$.
（1）求证：$AB// CD$；
（2）若$DE\perp GF$，$∠D=26^{\circ}$，求$∠BEC$的度数.

答案：
(1)证明:因为 $\angle CED = \angle GHD$，所以 $CE // GF$，所以 $\angle C = \angle FGD$。因为 $\angle C = \angle EFG$，所以 $\angle FGD = \angle EFG$，所以 $AB // CD$。
(2)解:因为 $DE \perp GF$，所以 $\angle GHD = 90^{\circ}$。由
(1)知 $CE // FG$，$AB // CD$，所以 $\angle CED = \angle DHG = 90^{\circ}$，$\angle BED = \angle D = 26^{\circ}$，所以 $\angle BEC = \angle CED + \angle BED = 116^{\circ}$。

20. （10分）如图，直线MN分别与直线AC，DG交于点B，F，且$∠1=∠2$，$∠ABF$的平分线BE交直线DG于点E，$∠BFG$的平分线FC交直线AC于点C.
（1）写出直线AC与DG的位置关系，并说明理由；
（2）BE与CF平行吗？为什么？

答案： 解:
(1)$AC // DG$。理由如下:因为 $\angle ABF = \angle 1$，$\angle 1 = \angle 2$，所以 $\angle ABF = \angle 2$，所以 $AC // DG$。
(2)$BE // CF$。理由如下:由
(1)知 $AC // DG$，所以 $\angle ABF = \angle BFG$。因为 $\angle ABF$ 的平分线 $BE$ 交直线 $DG$ 于点 $E$，$\angle BFG$ 的平分线 $FC$ 交直线 $AC$ 于点 $C$，所以 $\angle EBF = \frac{1}{2}\angle ABF$，$\angle CFB = \frac{1}{2}\angle BFG$，所以 $\angle EBF = \angle CFB$，所以 $BE // CF$。

21. （12分）如图，在宽为20m，长为32m的长方形耕地上，修筑三条同样宽的道路，使其中两条与直线AB平行，另一条与直线AD平行，若道路宽为2m，那么剩余的耕地面积为多少？

答案：
解:把道路部分的图形与耕地部分的图形按如图的位置进行平移，这样剩余的耕地长为 $(32 - 2 × 2)m$，宽为 $(20 - 2)m$，故剩余的耕地面积为 $28 × 18 = 504(m^{2})$。