《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

19. （10分）荷花文化节前夕，某市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲队、乙队施工一天的工程费用分别为1.5万元和1.1万元. 市政局根据甲、乙两队的投标书测算，有以下三种施工方案：方案一：甲队单独做这项工程刚好如期完成；方案二：乙队单独做这项工程，要比规定的工期多5天；方案三：若甲、乙两队合做4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成. 在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款？

答案： 解:设工程期为x天,则甲队单独完成用x天,乙队单独完成用$(x+5)$天.根据题意,得$\frac {4}{x}+\frac {x}{x+5}=1$,解得$x=20$.经检验,$x=20$是原方程的解,且符合题意,所以工程期为20天.若要如期完成,可选择方案一或方案三.方案一需工程款$1.5×20=30$(万元),方案三需工程款$1.5×4+1.1×20=28$(万元),故方案三最节省工程款且不误工期.

20. （10分）八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达. 已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.

答案： 解:设骑车学生的速度为x km/h.由题意,得$\frac {10}{x}-\frac {10}{2x}=\frac {1}{3}$,解得$x=15$.经检验,$x=15$是原方程的解.故骑车学生的速度为15 km/h.

21. （12分）焦作云台山风景区位于河南焦作修武县和山西陵川县境内，以独具特色的“北方岩溶地貌”“云台山水”被联合国教科文组织列入全球首批世界地质公园名录. 刘轩家离云台山风景区150km，他们计划周末驾车去云台山风景区游玩.
（1）刘轩爸爸按计划的速度行驶1h后，提速到原来的1.5倍继续行驶，结果比原计划提前0.5h到达，他们实际到云台山风景区需要多长时间？
（2）第二天返回时有两种行车方案：
方案一：前半段路程按m km/h的速度行驶，后半段路程按n km/h的速度行驶，行完全程需要$t_{1}h；$
方案二：设行完全程需要$t_{2}h，$其中一半时间按m km/h的速度行驶，另一半时间按n km/h的速度行驶.
已知m≠n，请比较$t_{1}，$$t_{2}$的大小，并说明理由.

答案： 解:设前1h行驶的速度为x km/h,则提速后的速度为1.5x km/h,所以提速后行完剩余路程的时间为$\frac {150-x}{1.5x}=\frac {300-2x}{3x}$h.根据题意可得$\frac {150}{x}-1=\frac {300-2x}{3x}+\frac {1}{2}$,解得$x=60$.经检验,$x=60$是原分式方程的解.故原计划行驶的速度为60 km/h,原计划需要的时间为$\frac {150}{60}=2.5$(h),$2.5-0.5=2$(h),故他们实际到云台山风景区需要2 h.
(2)$t_{1}＞t_{2}$.理由:方案一中,前半段路程按m km/h的速度行驶,则需要$\frac {150×\frac {1}{2}}{m}=\frac {75}{m}$(h),后半段路程按n km/h的速度行驶,则需要$\frac {150×\frac {1}{2}}{n}=\frac {75}{n}$(h),则$t_{1}=\frac {75}{m}+\frac {75}{n}=\frac {75(m+n)}{mn}$(h).
方案二中,设行完全程需要$t_{2}$h,其中一半时间按m km/h的速度行驶,则行驶的路程为$\frac {1}{2}mt_{2}$km,另一半时间按n km/h的速度行驶,则行驶的路程为$\frac {1}{2}nt_{2}$km,则$150=\frac {1}{2}mt_{2}+\frac {1}{2}nt_{2}=\frac {1}{2}(m+n)t_{2}$,即$t_{2}=\frac {300}{m+n}$.所以$\frac {t_{1}}{t_{2}}=\frac {\frac {75(m+n)}{mn}}{\frac {300}{m+n}}=\frac {(m+n)^{2}}{4mn}$,因为$m≠n,(m+n)^{2}-4mn=(m-n)^{2}$,所以$(m+n)^{2}＞4mn$,所以$\frac {t_{1}}{t_{2}}=\frac {(m+n)^{2}}{4mn}＞1$,即$t_{1}＞t_{2}$.