《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

20. (10分)已知$4a-11$的平方根是$\pm 3$，$3a+b-1$的算术平方根是$1$，$c$是$\sqrt{20}$的整数部分.
(1)求$a$，$b$，$c$的值；
(2)求$2a-b+c$的平方根.

答案： 解:
(1)因为$4a-11$的平方根是$\pm 3$,所以$4a-11=9$,解得$a=5$.因为$3a+b-1$的算术平方根是1,所以$3a+b-1=1$,所以$3×5+b-1=1$,解得$b=-13$.因为$c$是$\sqrt {20}$的整数部分,$4＜\sqrt {20}＜5$,所以$c=4.$
(2)把$a=5,b=-13,c=4$代入$2a-b+c$,得$2×5-(-13)+4=10+13+4=27$,所以$2a-b+c$的平方根为$\pm \sqrt {27}=\pm 3\sqrt {3}.$

21. (12分)有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若$a$和$b$都是有理数，$a(\pi+3)+b=0$，则$a=0$，$b=0$. 已知$m$和$n$都是有理数.
(1)若$(m-3)×\sqrt{6}+n-3=0$，求$mn$的平方根；
(2)若$(2+\sqrt{3})m-(1-\sqrt{3})n=6$，其中$m$，$n$是$x$的两个平方根，求$x$的值.

答案： 解:
(1)因为$(m-3)×\sqrt {6}+n-3=0,m$和$n$都是有理数,所以$m-3=0,n-3=0$,解得$m=3,n=3$,所以$mn=3×3=9$,所以$mn$的平方根为$\pm 3.$
(2)因为$(2+\sqrt {3})m-(1-\sqrt {3})n=6$,所以$2m+\sqrt {3}m-n+\sqrt {3}n-6=0$,所以$2m-n-6+\sqrt {3}(m+n)=0$.因为$m$和$n$都是有理数,所以$\left\{\begin{array}{l} 2m-n-6=0,\\ m+n=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=2,\\ n=-2.\end{array}\right. $因为$m,n$是$x$的两个平方根,所以$x=4.$

22. (12分)阅读下面的文字，解答问题.
我们知道$\sqrt{2}$是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们无法全部写出来，但是我们可以用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分. 因为$\sqrt{2}$的整数部分是$1$，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
根据上述信息，请解答：
(1)若$\sqrt{13}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，求$a^2+b-\sqrt{13}$的值；
(2)已知$10+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，求$x-y$的值.

答案： 解:
(1)因为$3＜\sqrt {13}＜4$,所以$a=3,b=\sqrt {13}-3$,所以$a^{2}+b-\sqrt {13}=3^{2}+\sqrt {13}-3-\sqrt {13}=6.$
(2)因为$1＜\sqrt {3}＜2$,所以$11＜10+\sqrt {3}＜12$.又因为$10+\sqrt {3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,所以$x=11,y=\sqrt {3}-1$,所以$x-y=11-(\sqrt {3}-1)=12-\sqrt {3}.$

23. (14分)我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”. 例如：$-9$，$-4$，$-1$这三个数，$\sqrt{(-9)×(-4)}=6$，$\sqrt{(-9)×(-1)}=3$，$\sqrt{(-4)×(-1)}=2$，$6$，$3$，$2$都是整数，所以$-1$，$-4$，$-9$这三个数为“完美组合数”.
(1)$-18$，$-8$，$-2$这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
(2)若$-3$，$m$，$-12$这三个数是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为$12$，求$m$的值.

答案： 解:
(1)-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”.理由如下:因为$\sqrt {(-18)×(-8)}=12,\sqrt {(-18)×(-2)}=6,\sqrt {(-8)×(-2)}=4,12,6,4$都是整数,所以-18,-8,-2这三个数是“完美组合数”.
(2)因为$\sqrt {(-3)×(-12)}=6$,所以分两种情况讨论:
①当$\sqrt {-3m}=12$时,$-3m=144$,所以$m=-48$,此时$\sqrt {-12m}=24$,是整数,符合题意;②当$\sqrt {-12m}=12$时,$-12m=144$,所以$m=-12$(不符合题意,舍去).综上,$m$的值是-48.