《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

1. 如图，超市里的购物车扶手AB与车底CD平行，∠2比∠3大10°，∠1是∠2的$1\frac{9}{11}$倍，则∠2的度数是( )
A. 55° B. 45° C. 44° D. 54°

答案： A [解析]设$∠2=x^{\circ }$，则$∠3=(x - 10)^{\circ }$，$∠1=\frac {20}{11}x^{\circ }$。因为$AB// CD$，所以$∠1=∠2 + ∠3$，所以$\frac {20}{11}x=x + x - 10$，解得$x = 55$，所以$∠2=55^{\circ }$。

2. 如图，已知FC//AB//DE，∠α：∠D：∠B=2：3：4，则∠α的度数是______．

答案： $72^{\circ }$ [解析]设$∠α=2x^{\circ }$，则$∠D=3x^{\circ }$，$∠B=4x^{\circ }$。因为$FC// AB// DE$，所以$∠2 + ∠B=180^{\circ }$，$∠1 + ∠D=180^{\circ }$，所以$∠2=180^{\circ } - ∠B=180^{\circ } - 4x^{\circ }$，$∠1=180^{\circ } - ∠D=180^{\circ } - 3x^{\circ }$。又因为$∠1 + ∠2 + ∠α=180^{\circ }$，所以$(180 - 3x)+(180 - 4x)+2x=180$，解得$x = 36$，所以$∠α=2x^{\circ }=72^{\circ }$。

3. 如图，AB//CD，EG平分∠DEF，FG平分∠BFE．
(1)求证：∠EFG+∠GEF=90°；
(2)在(1)的条件下，过点G作GH⊥AB，垂足为H，∠FGH的平分线GI交AB于点I，∠EGH的角平分线GJ交AB于点J，求∠IGJ的度数．

答案：
解：
(1)因为$AB// CD$，所以$∠DEF + ∠BFE=180^{\circ }$。因为$EG$平分$∠DEF$，$FG$平分$∠BFE$，所以$∠DEF=2∠GEF=2∠DEG$，$∠BFE=2∠EFG=2∠GFB$，所以$2∠GEF + 2∠EFG=180^{\circ }$，所以$∠EFG + ∠GEF=90^{\circ }$。
(2)如图，过点$G$作$GK// AB$。因为$AB// CD$，所以$AB// GK// CD$，所以$∠DEG=∠EGK$，$∠KGF=∠GFB$。由
(1)得，$∠DEG + ∠GFB=90^{\circ }$，所以$∠EGK + ∠KGF=90^{\circ }$。因为$GH⊥AB$，所以$GH⊥KG$，即$∠KGH=∠KGF + ∠HGF=90^{\circ }$，所以$∠EGK=∠HGF$。因为$GJ$平分$∠EGH$，所以$∠EGJ=∠HGJ$。又因为$∠KGJ=∠EGJ - ∠EGK$，$∠FGJ=∠HGJ - ∠HGF$，所以$∠KGJ=∠FGJ$，所以$∠KGF=2∠FGJ$。因为$GI$平分$∠HGF$，所以$∠HGF=2∠FGI$，所以$2∠FGJ + 2∠FGI=90^{\circ }$，即$∠FGJ + ∠FGI=45^{\circ }$，所以$∠IGJ=∠FGJ + ∠FGI=45^{\circ }$。

4. 阅读材料，完成问题．
三角形的内角和
小学时候我们就知道三角形的内角和是180°，学习了平行线之后，可以推导出三角形内角和是180°，方法如下：
方法一：如图1，已知：三角形ABC，说明∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°．
解：如图2，过点A作直线DE//BC，
因为DE//BC，
所以∠ABC=∠DAB，∠ACB=∠CAE．
因为∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°，
所以∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
即三角形的内角和是180°．
方法二：……
(1)方法一是用平行线的性质将三角形内角和问题转化为一个平角，这体现了数学中的______思想；
(2)请类比方法一，用平行线的性质，换一种方法推导出三角形内角和．

答案：
解：
(1)转化
(2)如图，延长$BC$至点$M$，过点$C$作$CN// AB$。因为$CN// AB$，所以$∠A=∠ACN$，$∠B=∠NCM$。因为$∠ACB + ∠ACN + ∠NCM=180^{\circ }$，所以$∠ABC + ∠ACB + ∠BAC=180^{\circ }$，即三角形的内角和是$180^{\circ }$。(答案不唯一)