《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

3. 题目：分解因式：$ x^{2} - 120x + 3456 $.
分析：由于常数项数值较大，则常采用将 $ x^{2} - 120x $ 变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行.
解：$ x^{2} - 120x + 3456 $
$ = x^{2} - 2 × 60x + 60^{2} - 60^{2} + 3456 $
$ = (x - 60)^{2} - 144 $
$ = (x - 60)^{2} - 12^{2} $
$ = (x - 60 + 12)(x - 60 - 12) $
$ = (x - 48)(x - 72) $.
通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：
(1) $ x^{2} - 140x + 4875 $；
(2) $ 4x^{2} - 4x - 575 $.

答案： 解:
(1)原式=x²−2×70x+70²−70²+4875
=(x−70)²−25
=(x−70)²−5²
=(x−70+5)(x−70−5)
=(x−65)(x−75).
(2)原式=(2x)²−2×2x×1+1²−1²−575
=(2x−1)²−576
=(2x−1)²−24²
=(2x−1+24)(2x−1−24)
=(2x+23)(2x−25).

4. 阅读下面的材料，然后解决问题：
苏菲·热门，19世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深. 下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解 $ x^{2} + 4 $ 时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即 $ (x^{2})^{2} + 2^{2} $，所以要使用公式就必须添加一项 $ 4x^{2} $，同时减去 $ 4x^{2} $，即 $ x^{4} + 4 = x^{4} + 4x^{2} + 4 - 4x^{2} = (x^{2} + 2)^{2} - (2x)^{2} = (x^{2} + 2x + 2)(x^{2} - 2x + 2) $. 人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”. 请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解：
(1) $ x^{4} + 4y^{4} $；
(2) $ x^{2} - 2ax - b^{2} - 2ab $；
(3) $ x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6 $.

答案： 解:
(1)原式$=x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2=(x²+2y²)²−(2xy)² =(x²+2y²+2xy)(x²+2y²−2xy).(2)$原式=x²−2ax+a²−a²−b²−2ab
=(x−a)²−(a+b)²
=(x−a+a+b)(x−a−a−b)
=(x+b)(x−2a−b).
(3)解法一(拆二次项):原式$=(x^3 + x^2)+(x^2 - 5x - 6)=x^2(x + 1)+(x + 1)(x - 6)=(x + 1)(x^2 + x - 6)=(x + 1)(x - 2)(x + 3).$解法二(拆一次项):原式$=(x^3 + 2x^2 - 8x)+(3x - 6)=x(x^2 + 2x - 8)+3(x - 2)=x(x - 2)(x + 4)+3(x - 2)=(x - 2)(x^2 + 4x + 3)=(x - 2)(x + 1)(x + 3).$解法三(拆常数项):原式$=(x^3 + 1)+(2x^2 - 5x - 7)=(x + 1)(x^2 - x + 1)+(x + 1)(2x - 7)=(x + 1)(x^2 - x + 1 + 2x - 7)=(x + 1)(x^2 + x - 6)=(x + 1)(x - 2)(x + 3).$解法四(拆二次项与一次项):原式$=(x^3 + x^2)+(x^2 + x)-(6x + 6)=x^2(x + 1)+x(x + 1)-6(x + 1)=(x + 1)(x^2 + x - 6)=(x + 1)(x - 2)(x + 3).$

5. 你会对多项式 $ (x^{2} + 5x + 2)(x^{2} + 5x + 3) - 12 $ 分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化. 从换元的个数看，有一元代换、二元代换等.
对于 $ (x^{2} + 5x + 2)(x^{2} + 5x + 3) - 12 $.
解法一：设 $ x^{2} + 5x = y $，
则原式 $ = (y + 2)(y + 3) - 12 = y^{2} + 5y - 6 = (y + 6) \cdot (y - 1) = (x^{2} + 5x + 6)(x^{2} + 5x - 1) = (x + 2)(x + 3) \cdot (x^{2} + 5x - 1) $.
解法二：设 $ x^{2} + 5x + 2 = y $，
则原式 $ = y(y + 1) - 12 = y^{2} + y - 12 = (y + 4)(y - 3) = (x^{2} + 5x + 6)(x^{2} + 5x - 1) = (x + 2)(x + 3) \cdot (x^{2} + 5x - 1) $.
解法三：设 $ x^{2} + 2 = m $，$ 5x = n $，
则原式 $ = (m + n)(m + n + 1) - 12 = (m + n)^{2} + (m + n) - 12 = (m + n + 4)(m + n - 3) = (x^{2} + 5x + 6)(x^{2} + 5x - 1) = (x + 2)(x + 3)(x^{2} + 5x - 1) $.
按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：
(1) $ (x^{2} + x - 4)(x^{2} + x + 3) + 10 $；
(2) $ (x + y - 2xy)(x + y - 2) + (xy - 1)^{2} $.

答案： 解:
(1)设x² + x = y,
则原式=(y−4)(y+3)+10
=y²−y−2
=(y−2)(y+1)
=(x²+x−2)(x²+x+1)
=(x+2)(x−1)(x²+x+1).
(2)设x + y = m,xy = n,
则原式=(m−2n)(m−2)+(n−1)²
=m²−2m−2mn+4n+n²−2n+1
=m²−2m−2mn+n²+2n+1
=m²−2m(1+n)+(n+1)²
=(m−n−1)²
=(x+y−xy−1)²
=(y−1)²(1−x)².