《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

1. 简便计算:
(1)$(3\frac {1}{8})^{12}×(\frac {8}{25})^{11}×(-2)^{3};$
(2)$[(\frac {1}{2})^{10}]^{3n}\cdot [(-2)^{10n}]^{3};$
(3)$0.125^{3}×0.25^{3}×2^{6}×2^{12};$
(4)$-0.25^{14}×2^{30}.$

答案： 解：
(1) 原式 $ = \left( \frac { 25 } { 8 } \right) ^ { 12 } × \left( \frac { 8 } { 25 } \right) ^ { 11 } × ( - 2 ) ^ { 3 } $
$ = \left( \frac { 25 } { 8 } × \frac { 8 } { 25 } \right) ^ { 11 } × \frac { 25 } { 8 } × ( - 2 ) ^ { 3 } $
$ = \frac { 25 } { 8 } × ( - 8 ) = - 25 $
(2) 原式 $ = \left[ \frac { 1 } { 2 } × ( - 2 ) \right] ^ { 30 n } = ( - 1 ) ^ { 30 n } = 1 $
(3) 原式 $ = 0.125 ^ { 3 } × 0.25 ^ { 3 } × 4 ^ { 3 } × 16 ^ { 3 } $
$ = ( 0.125 × 0.25 × 4 × 16 ) ^ { 3 } = 2 ^ { 3 } = 8 $
(4) 原式 $ = - \left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 14 } × 4 ^ { 15 } $
$ = - \left( \frac { 1 } { 4 } × 4 \right) ^ { 14 } × 4 = - 4 $

2. (1)若$2^{6}=a^{2}=4^{b}$,求$a+b$的值;
(2)已知$a^{6}b^{3}\cdot (a^{4}b^{2})^{y}=(a^{2}b)^{x}$,求$4x-8y+9$的值;
(3)若$2x+5y-3=0,3^{z+2}\cdot 5^{z+2}=15^{3z-4}$,求$4^{x}\cdot 32y\cdot 2^{-z}$的值.

答案： 解：
(1) 因为 $ 2 ^ { 6 } = a ^ { 2 } = 4 ^ { b } $，所以 $ 2 ^ { 6 } = ( 2 ^ { 3 } ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } = ( 2 ^ { 2 } ) ^ { b } = 2 ^ { 2 b } $，所以 $ a = \pm 8 $，$ 2 b = 6 $，解得 $ a = \pm 8 $，$ b = 3 $，所以 $ a + b = 11 $ 或 $ - 5 $
(2) 由题意，得 $ a ^ { 6 + 4 y } b ^ { 3 + 2 y } = ( a ^ { 2 } b ) ^ { x } $，整理得 $ ( a ^ { 2 } b ) ^ { 3 + 2 y } = ( a ^ { 2 } b ) ^ { x } $，所以 $ 3 + 2 y = x $，即 $ x - 2 y = 3 $，所以 $ 4 x - 8 y + 9 = 4 ( x - 2 y ) + 9 = 4 × 3 + 9 = 21 $
(3) 由题意，得 $ 3 ^ { z + 2 } \cdot 5 ^ { z + 2 } = 15 ^ { z + 2 } = 15 ^ { 3 z - 4 } $，所以 $ z + 2 = 3 z - 4 $，解得 $ z = 3 $，所以 $ 4 ^ { x } \cdot 32 ^ { y } \cdot 2 ^ { - z } = 2 ^ { 2 x } \cdot 2 ^ { 5 y } \cdot 2 ^ { - 3 } = 2 ^ { 2 x + 5 y - 3 } = 2 ^ { 0 } = 1 $

3. 已知$3^{x}=2025,675^{y}=2025$,试求$\frac {2xy}{x+y}$的值.

答案： 解：因为 $ 3 ^ { x } = 2025 $，所以 $ 3 ^ { x y } = 2025 ^ { y } $。又因为 $ 675 ^ { y } = 2025 $，所以 $ 675 ^ { x y } = 2025 ^ { x } $，所以 $ 3 ^ { x y } \cdot 675 ^ { x y } = 2025 ^ { y } \cdot 2025 ^ { x } $，即 $ 2025 ^ { x y } = 2025 ^ { x + y } $，所以 $ x y = x + y $。所以 $ \frac { 2 x y } { x + y } = 2 $

4. 比较$3^{65},4^{52},6^{39},15^{26}$四个数的大小.

答案： 解：因为 $ 3 ^ { 65 } = ( 3 ^ { 5 } ) ^ { 13 } = ( 243 ) ^ { 13 } $，$ 4 ^ { 52 } = ( 4 ^ { 4 } ) ^ { 13 } = ( 256 ) ^ { 13 } $，$ 6 ^ { 39 } = ( 6 ^ { 3 } ) ^ { 13 } = ( 216 ) ^ { 13 } $，$ 15 ^ { 26 } = ( 15 ^ { 2 } ) ^ { 13 } = ( 225 ) ^ { 13 } $。又 $ 256 ＞ 243 ＞ 225 ＞ 216 $，所以 $ 4 ^ { 52 } ＞ 3 ^ { 65 } ＞ 15 ^ { 26 } ＞ 6 ^ { 39 } $

5. 已知$a^{2026}=3$,求$(3a^{6078})^{2}-4(a^{2})^{8104}$的值.

答案： 解：$ ( 3 a ^ { 6078 } ) ^ { 2 } - 4 ( a ^ { 2 } ) ^ { 8104 } = 9 a ^ { 3 × 2026 × 2 } - 4 a ^ { 2 × 2026 × 4 } = 9 ( a ^ { 2026 } ) ^ { 6 } - 4 ( a ^ { 2026 } ) ^ { 8 } = 9 × 3 ^ { 6 } - 4 × 3 ^ { 8 } = - 19683 $

6. (1)求$3^{100}-1$的末位数字;
(2)求$3^{2026}\cdot 7^{2027}\cdot 13^{2028}$的个位数字.

答案： 解：
(1) $ 3 ^ { 100 } - 1 = ( 3 ^ { 2 } ) ^ { 50 } - 1 = ( 9 ^ { 2 } ) ^ { 25 } - 1 = 81 ^ { 25 } - 1 $，而 $ 81 ^ { 25 } $ 的个位数字是 $ 1 $，所以 $ 3 ^ { 100 } - 1 $ 的末位数字是 $ 0 $
(2) $ 3 ^ { 2026 } \cdot 7 ^ { 2027 } \cdot 13 ^ { 2028 } = ( 3 ^ { 4 } ) ^ { 506 } \cdot 3 ^ { 2 } \cdot ( 7 × 13 ) ^ { 2027 } \cdot 13 = 81 ^ { 506 } \cdot 91 ^ { 2027 } \cdot ( 9 × 13 ) = 81 ^ { 506 } \cdot 91 ^ { 2027 } \cdot 117 $。因为 $ 81 ^ { 506 } \cdot 91 ^ { 2027 } $ 的个位数字为 $ 1 $，所以 $ 3 ^ { 2026 } \cdot 7 ^ { 2027 } \cdot 13 ^ { 2028 } $ 的个位数字是 $ 7 $