《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

9. 一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，$\angle AOB=45^{\circ}$，$\angle COD=60^{\circ}$。
(1)求图1中$\angle BOD$的度数；
(2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度$\alpha$(即$\angle AOE=\alpha$)，在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方。
①当OB平分OA，OC，OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度$\alpha$的值；
②在转动过程中是否存在$\angle BOC=2\angle AOD$？若存在，求此时$\alpha$的值；若不存在，请说明理由。

答案： 解:
(1) 因为∠AOB = 45°，∠COD = 60°，所以∠BOD = 180° - ∠AOB - ∠COD = 75°。
(2) ① 当OB平分∠AOD时，因为∠AOE = α，∠COD = 60°，所以∠AOD = 180° - ∠AOE - ∠COD = 120° - α，所以∠AOB = $\frac{1}{2}$∠AOD = 60° - $\frac{1}{2}$α = 45°，所以α = 30°；当OB平分∠AOC时，因为∠AOC = 180° - α，所以∠AOB = 90° - $\frac{1}{2}$α = 45°，所以α = 90°；当OB平分∠DOC时，因为∠DOC = 60°，所以∠BOC = 30°，所以α = 180° - 45° - 30° = 105°。综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°。
② 当OA在OD的左侧时，则∠AOD = 120° - α，∠BOC = 135° - α。因为∠BOC = 2∠AOD，所以135° - α = 2(120° - α)，所以α = 105°；当OA在OD的右侧时，则∠AOD = α - 120°，∠BOC = 135° - α。因为∠BOC = 2∠AOD，所以135° - α = 2(α - 120°)，所以α = 125°。综上所述，当α = 105°或125°时，存在∠BOC = 2∠AOD。

10. 定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的$n+1$分位线。例如：如图1，$\angle MOP=4\angle NOP$，则OP为$\angle MON$的5分位线；$\angle NOQ=4\angle MOQ$，则OQ也是$\angle MON$的5分位线。
(1)若$\angle AOB=45^{\circ}$，OP为$\angle AOB$的3分位线，且$\angle BOP＞\angle POA$，则$\angle BOP=$______；
(2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为一条射线，OP，OQ分别为$\angle AOC$与$\angle BOC$的4分位线($\angle COP＞\angle POA$，$\angle COQ＞\angle QOB$)。
①已知，$\angle AOC=120^{\circ}$，则$\angle POQ=$______；
②若$\angle AOC=\alpha$，当$\alpha$变化时，$\angle POQ$的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由；
(3)如果点A，O，B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM，ON分别为$\angle AOC$与$\angle BOC$的5分位线，且$\angle MON=87^{\circ}$，请直接写出$\angle AOC$的度数。

答案： 解:
(1) 30°
(2) ① 135°
② 不会发生变化。当∠AOC = α时，∠BOC = 180° - α，∠QOC = $\frac{3}{4}$(180° - α)，∠POC = $\frac{3}{4}$α，所以∠POQ = ∠POC + ∠COQ = $\frac{3}{4}$(α + 180° - α) = 135°。
(3) ∠AOC = 85°或95°。