《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

5. 如图，直线$AB// CD$，$AE⊥CE$于点$E$，若$∠EAB=120^{\circ}$，则$∠ECD=$______.

答案： 150°

6. 将含$30^{\circ}$角的直角三角尺和直尺如图放置，若$∠1=20^{\circ}$，则$∠2$的度数为______.

答案： 40°

7. (1)如图1，$MA_{1}// NA_{2}$，则$∠A_{1}+∠A_{2}=$______；
(2)如图2，$MA_{1}// NA_{3}$，则$∠A_{1}+∠A_{2}+∠A_{3}=$______，请你说明理由；
(3)如图3，$MA_{1}// NA_{4}$，则$∠A_{1}+∠A_{2}+∠A_{3}+∠A_{4}=$______；
(4)利用上述结论解决问题：如图4，$AB// CD$，$∠ABE$和$∠CDE$的平分线相交于点$F$，$∠E=140^{\circ}$，求$∠BFD$的度数.

答案：
解:
(1)180°
(2)360°　理由:如图1,过点A₂作PA₂//MA₁.因为MA₁//NA₃，所以PA₂//MA₁//NA₃，所以∠A₁ + ∠A₁A₂P + ∠PA₂A₃ + ∠A₃ = 360°.
(3)540°
(4)如图2,过点F作FG//AB.因为AB//CD，所以AB//CD//FG，所以∠BFG = ∠ABF，∠GFD = ∠CDF.因为∠ABE和∠CDE的角平分线相交于点F，所以∠BFD = $\frac{1}{2}$(∠ABE + ∠CDE).又因为∠ABE + ∠E + ∠CDE = 360°，∠E = 140°，所以∠ABE + ∠CDE = 220°，所以∠BFD = 110°.
　　　

8. 综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动. 如图1，$∠EFH=90^{\circ}$，点$A$，$C$分别在射线$FE$，$FH$上，$AB//CD$.
(1)若$∠FAB=150^{\circ}$，则$∠HCD$的度数是多少？探究中小聪同学发现，过点$F$作$FG//AB$即可得到$∠HCD$的度数，请写出$∠HCD$的度数；
(2)小明同学发现，无论$∠FAB$的度数如何变化，$∠FAB-∠HCD$的值都不变，为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过点$A$作$AM//FH$交$CD$于点$M$，请你根据小明同学提供的辅助线，确定该定值，并说明理由；
(3)如图3，把“$∠EFH=90^{\circ}$”改为“$∠EFH=\alpha$”$(0^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ})$，其他条件保持不变，猜想$∠FAB$与$∠HCD$的数量关系，并说明理由.

答案：
解:
(1)因为FG//AB，所以∠AFG + ∠FAB = 180°，所以∠AFG = 180° - ∠FAB = 180° - 150° = 30°.因为∠EFH = 90°，所以∠CFG = ∠EFH - ∠AFG = 90° - 30° = 60°.因为AB//CD，FG//AB，所以FG//CD，所以∠HCD = ∠CFG = 60°.
(2)该定值为90°.理由如下:因为AM//FH，所以∠EFH + ∠FAM = 180°，∠HCD = ∠AMC，所以∠FAM = 180° - ∠EFH = 180° - 90° = 90°.因为AB//CD，所以∠BAM = ∠ANC，所以∠FAB - ∠HCD = ∠FAB - ∠BAM = ∠FAM = 90°，所以无论∠FAB的度数如何变化，∠FAB - ∠HCD的值都不变，为定值，该定值为90°.
(3)∠FAB - ∠HCD = 180° - α.理由如下:如图，过点A作AN//FH交CD于点N，所以∠EFH + ∠FAN = 180°，∠HCD = ∠ANC，所以∠FAN = 180° - ∠EFH = 180° - α.因为AB//CD，所以∠BAN = ∠ANC，所以∠FAB - ∠HCD = ∠FAB - ∠BAN = ∠FAN = 180° - α.