《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

9. 阅读下列材料：
小明为了计算$1+2+2^{2}+... +2^{2025}+2^{2026}$的值，采用以下方法：
设$S=1+2+2^{2}+... +2^{2025}+2^{2026}...①，则$2S=2+2^{2}+... +2^{2026}+2^{2027}...②，
②-①，得$2S-S=S=2^{2027}-1$．
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)$2+2^{2}+... +2^{20}=$____；
(2)求$1+\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{2}}+... +\frac {1}{2^{50}}=$____；
(3)求$1+a+a^{2}+a^{3}+... +a^{n}$的和$(a＞1$，n是正整数，写出计算过程)．

答案： 解:
(1)$2^{21}-2$
(2)$2-\frac {1}{2^{50}}$
(3)设$S=1+a+a^{2}+a^{3}+... +a^{n}$,则$aS=a+a^{2}+a^{3}+... +a^{n}+a^{n+1}$,所以$aS-S=(a-1)S=(a+a^{2}+a^{3}+... +a^{n}+a^{n+1})-(1+a+a^{2}+a^{3}+... +a^{n})=a^{n+1}-1$,所以$S=\frac {a^{n+1}-1}{a-1}$.

10. 用简便方法计算：$(-9\frac {35}{36})×18$．

答案： 解:原式$=(-10+\frac {1}{36})×18=-10×18+\frac {1}{36}×18=-180+\frac {1}{2}=-179\frac {1}{2}$.

11. 计算：$(-2027\frac {2}{3})+2026\frac {3}{4}+(-2025\frac {5}{6})+2024\frac {1}{2}$．

答案： 解:原式$=-2027-\frac {2}{3}+2026+\frac {3}{4}-2025-\frac {5}{6}+2024+\frac {1}{2}=(-2027+2026-2025+2024)+(-\frac {2}{3}+\frac {3}{4}-\frac {5}{6}+\frac {1}{2})=-2-\frac {1}{4}=-2\frac {1}{4}$.

12. 观察以下算式：
①$\frac {1×1}{1×5}=\frac {1}{8}×(1+\frac {3}{1×5})$；
②$\frac {2×3}{5×9}=\frac {1}{8}×(1+\frac {3}{5×9})$；
③$\frac {3×5}{9×13}=\frac {1}{8}×(1+\frac {3}{9×13})$．
(1)请写出第④个算式：____；
(2)请用n(n是正整数)表示出第n个算式，并计算：$\frac {1×1}{1×5}+\frac {2×3}{5×9}+\frac {3×5}{9×13}+... +\frac {9×17}{33×37}+\frac {10×19}{37×41}$．

答案： 解:
(1)$\frac {4×7}{13×17}=\frac {1}{8}×(1+\frac {3}{13×17})$
(2)第$n$个算式为$\frac {n(2n-1)}{(4n-3)(4n+1)}=\frac {1}{8}×[1+\frac {3}{(4n-3)(4n+1)}]$.
$\frac {1×1}{1×5}+\frac {2×3}{5×9}+\frac {3×5}{9×13}+... +\frac {9×17}{33×37}+\frac {10×19}{37×41}=\frac {1}{8}×(1+\frac {3}{1×5})+\frac {1}{8}×(1+\frac {3}{5×9})+\frac {1}{8}×(1+\frac {3}{9×13})+... +\frac {1}{8}×(1+\frac {3}{33×37})+\frac {1}{8}×(1+\frac {3}{37×41})=\frac {1}{8}×(10+\frac {3}{1×5}+\frac {3}{5×9}+\frac {3}{9×13}+... +\frac {3}{33×37}+\frac {3}{37×41})=\frac {1}{8}×10+\frac {1}{8}×\frac {3}{4}×(1-\frac {1}{5}+\frac {1}{5}-\frac {1}{9}+\frac {1}{9}-\frac {1}{13}+... +\frac {1}{33}-\frac {1}{37}+\frac {1}{37}-\frac {1}{41})=\frac {5}{4}+\frac {1}{8}×\frac {3}{4}×\frac {40}{41}=\frac {55}{41}$.