《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

6. 仔细阅读下面的例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 $ x^{2} - 4x + m $($ m $ 为常数)有一个因式是 $ (x + 3) $，求另一个因式以及 $ m $ 的值.
解：设另一个因式为 $ (x + n) $($ n $ 为常数)，得 $ x^{2} - 4x + m = (x + 3)(x + n) $，
则 $ x^{2} - 4x + m = x^{2} + (n + 3)x + 3n $，
因为 $ n + 3 = - 4 $，解得 $ n = - 7 $，
所以 $ m = 3n = - 21 $，
所以另一个因式为 $ (x - 7) $，$ m $ 的值为 $ - 21 $.
仿照以上方法解答下列问题：
(1) 已知二次三项式 $ 2x^{2} + 3x - k $($ k $ 为常数)有一个因式是 $ (2x - 5) $，求另一个因式以及 $ k $ 的值；
(2) 已知二次三项式 $ 3x^{2} + ax - 1 $($ a $ 为常数)能因式分解为两个因式相乘，这两个因式都为一次二项式，且一次项系数为正整数，常数项为整数，试猜测它的两个因式，并求 $ a $ 的值.

答案： 解:
(1)设另一个因式是(x + b)，则(2x−5)(x + b)=2x²+2bx−5x−5b=2x²+(2b−5)x−5b=2x²+3x−k,则2b−5=3,−5b=−k,解得b=4,k=20.则另一个因式是(x + 4),k=20.
(2)设一个因式是(3x + 1)，则另一个因式是(x - 1).因为(3x + 1)(x - 1)=3x²−3x+x−1=3x²−2x−1=3x²+ax−1,所以a = -2.或设一个因式是(3x - 1)，则另一个因式是(x + 1).因为(3x - 1)(x + 1)=3x²+3x−x−1=3x²+2x−1=3x²+ax−1,所以a = 2.故a的值是 -2或2.

7. 阅读下面的材料，然后解决问题：
分解因式：$ x^{3} - 19x - 30 $.
当 $ x = - 2 $ 时，$ x^{3} - 19x - 30 = - 8 + 38 - 30 = 0 $. 表明 $ x^{3} - 19x - 30 $ 有因式 $ (x + 2) $. 因此 $ x^{3} - 19x - 30 = (x^{3} + 8) - 19(x + 2) = (x + 2)(x^{2} - 2x + 4 - 19) = (x + 2)(x - 5)(x + 3) $.
上面的这种因式分解的方法叫作因式定理法，即如果 $ x = a $ 时多项式的值为零，那么该多项式能被 $ (x - a) $ 整除(除含有 $ x - a $ 的因式). 如多项式 $ 3x^{2} - 5x - 2 $，当 $ x = 2 $ 时，$ 3x^{2} - 5x - 2 = 0 $，即多项式 $ 3x^{2} - 5x - 2 $ 含有因式 $ (x - 2) $，事实上 $ 3x^{2} - 5x - 2 = (3x + 1)(x - 2) $.
通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：
(1) $ x^{3} - 9x + 8 $； (2) $ x^{3} + 5x^{2} + 8x + 4 $.

答案： 解:
(1)当x = 1时，原式为0,因此原式有因式(x - 1)，分解结果为$x^3 - 9x + 8=(x^3 - 1)-9(x - 1)=(x - 1)(x^2 + x + 1 - 9)=(x - 1)(x^2 + x - 8).(2)$当x = -1时，$x^3 + 5x^2 + 8x + 4=-1 + 5 - 8 + 4 = 0,$表明$x^3 + 5x^2 + 8x + 4$有因式(x + 1).因此$x^3 + 5x^2 + 8x + 4=(x^3 + 1)+5(x^2 - 1)+8(x + 1)=(x + 1)(x^2 - x + 1)+5(x - 1)(x + 1)+8(x + 1)=(x + 1)[(x^2 - x + 1)+5(x - 1)+8]=(x + 1)(x^2 + 4x + 4)=(x + 1)(x + 2)^2.$