《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

7. 借助图形直观感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论。
【初步应用】
(1)①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则：______(用图中字母表示)；
②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：______(用图中字母表示)；
【深入探究】
(2)仿照图2，构造图形并计算$(a+b+c)^{2}$；
【拓展延伸】
借助以上探究经验，解决下列问题：
(3)①代数式$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5})^{2}$展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有______项；
②若正数x，y，z和正数m，n，p满足$x+m=y+n=z+p=t$，请通过构造图形比较$px+my+nz$与$t^{2}$的大小(画出图形，并说明理由)；
③已知x，y，z满足$x+y+z=2m,x^{2}+y^{2}+z^{2}=2n,xyz=p$，求$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}$的值(用含m，n，p的式子表示)。

答案：
解：
(1)①$(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd$
②$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
(2)已知大正方形的边长为 $a + b + c$，如图所示.

利用图形的面积关系可得 $(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac$.
(3)①15　[解析]$(a_{1}+a_{2})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}$，所以一共有 $2 + 1 = 3$（项）；$(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3}+2a_{2}a_{3}$，所以一共有 $3 + 2 + 1 = 6$（项）；$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3}+2a_{1}a_{4}+2a_{2}a_{3}+2a_{2}a_{4}+2a_{3}a_{4}$，所以一共有 $4 + 3 + 2 + 1 = 10$（项）；$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+2a_{1}a_{2}+2a_{1}a_{3}+2a_{1}a_{4}+2a_{1}a_{5}+2a_{2}a_{3}+2a_{2}a_{4}+2a_{2}a_{5}+2a_{3}a_{4}+2a_{3}a_{5}+2a_{4}a_{5}$，所以一共有 $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$（项）.
②如图，由图形得 $px + my + nz ＜ t^{2}$.

③因为 $x + y + z = 2m$，所以 $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xz + 2xy + 2yz = 4m^{2}$. 因为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2n$，所以 $2xz + 2xy + 2yz = 4m^{2}-2n$，所以 $xz + xy + yz = 2m^{2}-n$，所以 $(xz + xy + yz)^{2}=x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}+2x^{2}yz + 2y^{2}xz + 2z^{2}xy=(2m^{2}-n)^{2}$，所以 $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}=4m^{4}-4m^{2}n + n^{2}-2xyz(x + y + z)=4m^{4}-4m^{2}n + n^{2}-2p·2m = 4m^{4}-4m^{2}n + n^{2}-4pm$.

8. 如图1，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成了一个长方形(如图2)，则这个长方形的面积为()
A. $a^{2}-4b^{2}$
B. $(a+b)(a-b)$
C. $(a+2b)(a-b)$
D. $(a+b)(a-2b)$

答案： A

9. 我市为了创建全国文明城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加2m，东西方向缩短2m，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比()
A. 减少$4m^{2}$
B. 增加$4m^{2}$
C. 保持不变
D. 无法确定

答案： A

10. 如图，在边长为x的正方形纸片中间剪去一个边长为$(a+2)$的小正方形，将剩余部分剪开拼成一个不重叠，且无缝隙的平行四边形。若平行四边形的面积为$3a^{2}-4a-4$，则原正方形纸片的边长x为()
A. 2a
B. 3a
C. 4a
D. 5a

答案： A

11. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是80，则阴影部分的面积是______。

答案： 40