《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

1. 如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，$AB = 15$，$BC = 11$。
(1)求线段AM的长；
(2)在线段BC上取一点N，使得$CN:NB = 5:6$，求线段MN的长。

答案： 解:
(1) 因为点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上, $ AB = 15 $, $ BC = 11 $, 所以 $ AC = AB - BC = 15 - 11 = 4 $. 因为点 $ M $ 是 $ AC $ 的中点, 所以 $ AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 4 = 2 $.
(2) 因为 $ M $ 是 $ AC $ 的中点, 所以 $ MC = \frac{1}{2}AC = 2 $. 因为点 $ N $ 在线段 $ BC $ 上, $ BC = 11 $, 所以 $ CN + NB = BC = 11 $. 又因为 $ CN : NB = 5 : 6 $, 所以 $ CN = \frac{5}{5 + 6}BC = \frac{5}{11} × 11 = 5 $, 所以 $ MN = MC + CN = 2 + 5 = 7 $.

2. 如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且$AD = 9cm$，$BD = 2cm$。
(1)求AC的长；
(2)若点E在直线AD上，且$EA = 3cm$，求BE的长。

答案：
解:
(1) 因为点 $ B $ 为 $ CD $ 的中点, 所以 $ CB = BD = 2 \text{ cm} $, 所以 $ CD = BC + BD = 4 \text{ cm} $, 所以 $ AC = AD - CD = 9 - 4 = 5(\text{cm}) $, 所以 $ AC $ 的长为 $ 5 \text{ cm} $.
(2) $ AB = AC + BC = 7 \text{ cm} $, $ EA = 3 \text{ cm} $. 当点 $ E $ 在线段 $ AD $ 上时, 如图所示.
$ BE = AB - AE = 7 - 3 = 4(\text{cm}) $.
当点 $ E $ 在线段 $ DA $ 的延长线上时, 如图所示.
$ BE = AB + AE = 7 + 3 = 10(\text{cm}) $.
所以 $ BE $ 的长为 $ 4 \text{ cm} $ 或 $ 10 \text{ cm} $.

3. 如图，点B在线段AD上，且$BD = 3AB$，点C是线段BD的中点，若$CD = 6cm$，求线段AC的长。

答案： 解: 因为 $ BD = 3AB $, 所以设 $ AB = x $, 则 $ BD = 3x $. 因为点 $ C $ 是线段 $ BD $ 的中点, 所以 $ BC = CD = \frac{1}{2}BD = \frac{3}{2}x = 6 $, 所以 $ \frac{3}{2}x = 6 $, 所以 $ x = 4 $, 所以 $ AC = AB + BC = x + \frac{3}{2}x = \frac{5}{2}x = 10(\text{cm}) $. 即线段 $ AC $ 的长为 $ 10 \text{ cm} $.

4. 已知点B在线段AC上，点D在线段AB上。
(1)如图1，若$AB = 6cm$，$BC = 4cm$，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；
(2)如图2，若$BD = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{3}CD$，E为线段AB的中点，$EC = 12cm$，求线段AC的长度。

答案： 解:
(1) 因为 $ AC = AB + BC $, $ AB = 6 \text{ cm} $, $ BC = 4 \text{ cm} $, 所以 $ AC = 6 + 4 = 10(\text{cm}) $. 又因为 $ D $ 为线段 $ AC $ 的中点, 所以 $ DC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 10 = 5(\text{cm}) $, 所以 $ DB = DC - BC = 5 - 4 = 1(\text{cm}) $.
(2) 设 $ BD = x \text{ cm} $, 因为 $ BD = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{3}CD $, 所以 $ AB = 4BD = 4x \text{ cm} $, $ CD = 3BD = 3x \text{ cm} $. 又因为 $ DC = DB + BC $, 所以 $ BC = 3x - x = 2x(\text{cm}) $. 又因为 $ AC = AB + BC $, 所以 $ AC = 4x + 2x = 6x(\text{cm}) $. 因为 $ E $ 为线段 $ AB $ 的中点, 所以 $ BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4x = 2x(\text{ cm}) $. 又因为 $ EC = BE + BC $, 所以 $ EC = 2x + 2x = 4x(\text{cm}) $. 又因为 $ EC = 12 \text{ cm} $, 所以 $ 4x = 12 $, 解得 $ x = 3 $, 所以 $ AC = 6x = 6 × 3 = 18(\text{cm}) $.

5. 如图所示，点C，D在线段AB上，点E，F分别是AC，DB的中点。
(1)设$EF = 7cm$，$CD = 4cm$，求线段AB的长；
(2)设$AB = a$，$EF = b$，用a，b表示线段CD的长。

答案： 解:
(1) 因为点 $ E $, $ F $ 分别是 $ AC $, $ DB $ 的中点, 所以 $ AE = EC $, $ DF = FB $. 因为 $ EF = 7 \text{ cm} $, $ CD = 4 \text{ cm} $, 而 $ EF = EC + CD + DF $, 所以 $ EC + DF = 3(\text{cm}) $, 所以 $ AE + FB = 3(\text{cm}) $, 所以 $ AB = AE + EF + FB = 3 + 7 = 10(\text{cm}) $, 即 $ AB = 10 \text{ cm} $.
(2) 因为 $ AB = a $, $ EF = b $, $ AB = AE + EF + FB $, 所以 $ AE + FB = AB - EF = a - b $, 所以 $ EC + DF = a - b $. 因为 $ EF = EC + CD + DF = b $, 所以 $ CD = b - (a - b) = 2b - a $, 即 $ CD = 2b - a $.