《2025年暑假总动员七年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

21. (12分)学习自然数时,我们发现一种特殊的自然数——“积数”.定义:对于三位自然数$n$,各位数字都不为$0$,且百位数字与个位数字之积恰好能被十位数字整除,则称这个自然数为“积数”.例如:$124$是“积数”,因为$1,2,4$都不为$0$,且$1×4=4$,$4$能被$2$整除;$643$不是“积数”,因为$6×3=18$,$18$不能被$4$整除.
(1)判断$951,396$是否是“积数”,并说明理由;
(2)求出百位数字比个位数字大$6$的所有“积数”,并说明理由.

答案： 解:
(1)因为$9×1=9$,9不能被5整除,所以951不是“积数”.因为3,9,6都不为0,且$3×6=18$,18能被9整除,所以396是“积数”.
(2)设个位数字为a,十位数字为b,则百位数字为$(a+6)$,且$1≤a≤3$.由题意,得$a(a+6)$能被b整除,当$a=1$时,b的值为1或7,此时该数是711或771;当$a=2$时,b的值为1,2,4,8,此时该数是812,822,842,882;当$a=3$时,b的值为1,3,9,此时该数是913,933,993.故百位数字比个位数字大6的所有“积数”为711,771,812,822,842,882,913,933,993.

22. (12分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如:$4=2^{2}-0^{2}$,$12=4^{2}-2^{2}$,$20=6^{2}-4^{2}$,因此$4,12,20$都是“神秘数”.
(1)请说明:$36$是否为“神秘数”;
(2)请说明:“神秘数”一定是$4$的倍数;
(3)$2000$是“神秘数”吗? 请说明理由.

答案： 解:
(1)假设36是神秘数,则能表示为两个连续偶数的平方差,设较小的偶数为x,则较大的偶数为$x+2$.所以$(x+2)^{2}-x^{2}=36$.解得$x=8$.所以$x+2=10$.所以$36=10^{2}-8^{2}$.所以36是“神秘数”.
(2)设较小的偶数为2k,则较大的偶数为$2k+2$,所以$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}=8k+4=4(2k+1)$.因为k为正整数,所以$2k+1$为正整数.所以“神秘数”一定是4的倍数.
(3)2000不是“神秘数”.理由如下:假设2000是“神秘数”,由
(2)得$4(2k+1)=2000$.解得$k=249.5$.因为k不是整数,所以假设不成立.所以2000不是“神秘数”.

23. (14分)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)(1+x)^{2}$
$=(1+x)^{3}$.
(1)上述因式分解的方法是____,共应用了____次;
(2)若分解$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}+... +x(x+1)^{204}$,则需应用上述方法____次,结果是____;
(3)因式分解:$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}+... +x(x+1)^{n}$($n$为正整数).

答案： 解:
(1)提公因式法 2
(2)204 $(1+x)^{205}$
(2)原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)]+x(x+1)^{3}+... +x(x+1)^{n}=(1+x)(1+x)^{2}+x(x+1)^{3}+... +x(x+1)^{n}=(1+x)^{3}+(x+1)^{3}+... +x(x+1)^{n}=(x+1)^{n}+x(x+1)^{n}=(x+1)^{n+1}.$