《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学浙教版》

21. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle BAC = 40^{\circ} $，分别以 $ AB $，$ AC $ 为边作两个等腰直角三角形 $ ABD $ 和 $ ACE $，使 $ \angle BAD = \angle CAE = 90^{\circ} $。
(1)求 $ \angle DBC $ 的度数；
(2)求证：$ BD = CE $。

答案：
(1)$\because △ABD$是等腰直角三角形，$∠BAD=90^{\circ}$，$\therefore ∠ABD=45^{\circ}$。
$\because AB=AC$，$∠A=40^{\circ}$，$\therefore ∠ABC=70^{\circ}$。$\therefore ∠DBC=70^{\circ}+45^{\circ}=115^{\circ}$。
(2)$\because △ABD$和$△ACE$都是等腰直角三角形，$\therefore ∠BAD=∠CAE=90^{\circ}$，$∠ABD=∠ACE=45^{\circ}$。又$AB=AC$，$\therefore △BAD≌△CAE(ASA)$。$\therefore BD=CE$。

22. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC $ 和 $ \angle ACB $ 的平分线交于点 $ E $，过点 $ E $ 作 $ MN // BC $ 交 $ AB $ 于点 $ M $，交 $ AC $ 于点 $ N $，若 $ BM + CN = 9 $，则线段 $ MN $ 的长为多少？

答案： $\because ∠ABC$，$∠ACB$的平分线相交于点E，$\therefore ∠MBE=∠EBC$，$∠ECN=∠ECB$。
$\because MN// BC$，$\therefore ∠EBC=∠MEB$，$∠NEC=∠ECB$。
$\therefore ∠MBE=∠MEB$，$∠NEC=∠ECN$。
$\therefore BM=ME$，$EN=CN$。
$\therefore MN=ME+EN$，即$MN=BM+CN$。
$\because BM+CN=9$，$\therefore MN=9$。

23. 如图，$ \triangle ABC $ 是边长为3的等边三角形，将 $ \triangle ABC $ 沿直线 $ BC $ 向右平移，使点 $ B $ 与点 $ C $ 重合，得到 $ \triangle DCE $，连结 $ BD $，交 $ AC $ 于点 $ F $。
(1)猜想 $ AC $ 与 $ BD $ 的位置关系，并证明你的结论；
(2)求线段 $ BD $ 的长。

答案：
(1)$AC⊥BD$。证明如下：
$\because △DCE$由$△ABC$平移得到，$\therefore BE=2BC=6$，$DE=AC=3$，$∠DCE=∠ABC=60^{\circ}$。$\because ∠DCE=60^{\circ}$，$BC=CD$，$\therefore ∠DBC=∠BDC=30^{\circ}$。
又$∠ACB=60^{\circ}$，$\therefore ∠BFC=90^{\circ}$，即$AC⊥BD$。
(2)$\because ∠BDC=30^{\circ}$，$∠CDE=60^{\circ}$，$\therefore ∠BDE=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$。
在$Rt△BED$中，$BE=6$，$DE=3$，$\therefore BD=\sqrt{BE^{2}-DE^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$。

24. 中考新考法 过程纠错改错 如图，点 $ D $，$ E $ 分别在 $ AB $，$ AC $ 上，$ \angle ADC = \angle AEB = 90^{\circ} $，$ BE $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ OB = OC $。求证：$ \angle 1 = \angle 2 $。
小虎同学的证明过程如下：
证明：$ \because \angle ADC = \angle AEB = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle DOB + \angle B = \angle EOC + \angle C = 90^{\circ} $。
$ \because \angle DOB = \angle EOC $，
$ \therefore \angle B = \angle C $。……第一步
又 $ OA = OA $，$ OB = OC $，
$ \therefore \triangle ABO \cong \triangle ACO $。……第二步
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $。……第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程。

答案：
(1)二
(2)$\because ∠ADC=∠AEB=90^{\circ}$，$\therefore ∠BDO=∠CEO=90^{\circ}$。
在$△DOB$和$△EOC$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BDO=∠CEO,\\ ∠DOB=∠EOC,\\ OB=OC,\end{array}\right.$
$\therefore △DOB≌△EOC(AAS)$，$\therefore OD=OE$。
又$∠ADC=∠AEB=90^{\circ}$，$\therefore AO$平分$∠BAC$，即$∠1=∠2$。
一题多解
(2)同证$△DOB≌△EOC$，则$OD=OE$。
在$Rt△ADO$和$Rt△AEO$中，$\left\{\begin{array}{l} OD=OE,\\ OA=OA,\end{array}\right.$
$\therefore Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)$，$\therefore ∠1=∠2$。