《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学浙教版》

21. 如图，$BE⊥AC$，垂足为 E，$CF⊥AB$，垂足为 F，BE，CF 相交于点 D. 若$BD=CD$，则 AD 平分$∠BAC$吗？请说明理由.

答案： $AD$平分$\angle BAC$.理由如下:
　在$\triangle BDF$和$\triangle CDE$中,
　$\because \angle BFD=\angle CED=90^{\circ},\angle BDF=\angle CDE,BD=CD$,
　$\therefore \triangle BDF\cong \triangle CDE.\therefore DF=DE$.
　$\therefore$点$D$在$\angle BAC$的平分线上.$\therefore AD$平分$\angle BAC$.

22. 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造$△ABC$与$△BCD$来测量 A，B 间的距离，其中$AC=CD$，$∠ACB=∠BCD$. 那么量出的 BD 的长度就是 AB 的距离. 请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由.

答案： 正确.理由如下:
在$\triangle ABC$和$\triangle DBC$中,$\left\{\begin{array}{l} AC=DC,\\ \angle ACB=\angle DCB,\\ BC=BC,\end{array}\right.$
　$\therefore \triangle ABC\cong \triangle DBC(SAS).\therefore AB=DB$.

23. 新情境 测量水池距离 在江滨公园中，有一条“Z”字形绿色长廊 ABCD，如图，其中$∠B=∠C$，在 AB，BC，CD 三条绿色长廊上各修建一座小凉亭 E，M，F，且$BE=CF$，M 是 BC 的中点，在凉亭 M 与 F 之间有一水池，不能直接到达，但要想知道 M 与 F 之间的距离，应该怎么办呢？说说你的做法及理由.

答案：
测出$ME$的长度就是$M$与$F$之间的距离.理由如下:
　　如图,连结$ME,MF$.
　　　　　　　　
　　$\because M$是$BC$的中点,$\therefore BM=CM$.
　　在$\triangle BME$和$\triangle CMF$中,
　　$\left\{\begin{array}{l} BE=CF,\\ \angle B=\angle C,\\ BM=CM,\end{array}\right.$
　　$\therefore \triangle BME\cong \triangle CMF(SAS).\therefore ME=MF$.
　　$\therefore$测出$ME$的长度就是$M$与$F$之间的距离.

24. 中考新考法 归纳一般结论 如图，点 C 在直线 BE 上，$∠ABC$与$∠ACE$的平分线交于点$A_{1}$.
（1）若$∠A=60^{\circ }$，求$∠A_{1}$的度数；
（2）若$∠A=m$，求$∠A_{1}$的度数；
（3）在（2）的条件下，若再作$∠A_{1}BE$，$∠A_{1}CE$的平分线，交于点$A_{2}$；再作$∠A_{2}BE$，$∠A_{2}CE$的平分线，交于点$A_{3}$；…；依次类推，则$∠A_{2}$，$∠A_{3}$，…，$∠A_{n}$分别为多少度？

答案： 根据题意,得$\angle A_{1}=\angle A_{1}CE-\angle A_{1}BC=\frac{1}{2}\angle ACE-\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(\angle ACE-\angle ABC)=\frac{1}{2}\angle A$.
(1)当$\angle A=60^{\circ}$时,$\angle A_{1}=30^{\circ}$.
(2)当$\angle A=m$时,$\angle A_{1}=\frac{1}{2}m$.
(3)依次类推,$\angle A_{2}=\frac{1}{4}m,\angle A_{3}=\frac{1}{8}m,\cdots,\angle A_{n}=(\frac{1}{2})^{n}m$.