《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学浙教版》

23. 请在方格内画$\triangle ABC$，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为$2$，$2\sqrt {5}$，$4\sqrt {\frac {1}{2}}$. 求：
（1）$\triangle ABC$的面积；
（2）最长边上的高线.

答案：
(1)2　
(2)$\frac{2}{5}\sqrt{5}$

24. 中考新考法 类比猜想 观察下列各式：$\sqrt {1+\frac {1}{3}}=2\sqrt {\frac {1}{3}}$，$\sqrt {2+\frac {1}{4}}=3\sqrt {\frac {1}{4}}$，$\sqrt {3+\frac {1}{5}}=4\sqrt {\frac {1}{5}}$，…，按照上述三个等式及其变化过程，
（1）猜想：$\sqrt {4+\frac {1}{6}}=$______；______$=15\sqrt {\frac {1}{16}}$.
（2）试猜想第$n$个等式为______，并给出证明过程.

答案：
(1)5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；$\sqrt{14+\frac{1}{16}}$
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$（$n\geq1$），证明略.

25. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读下列解题过程：
例：若代数式$\sqrt {(a-1)^{2}}+\sqrt {(a-3)^{2}}$的值是 2，求$a$的取值范围.
解：原式$=|a-1|+|a-3|$，
当$a＜1$时，原式$=(1-a)+(3-a)=4-2a=2$，解得$a=1$（舍去）；
当$1\leqslant a\leqslant 3$时，原式$=(a-1)+(3-a)=2$，符合条件；
当$a＞3$时，原式$=(a-1)+(a-3)=2a-4=2$，解得$a=3$（舍去）.
所以$a$的取值范围是$1\leqslant a\leqslant 3$.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当$2\leqslant a\leqslant 5$时，化简：$\sqrt {(a-2)^{2}}+\sqrt {(a-5)^{2}}=$______；
（2）若等式$\sqrt {(3-a)^{2}}+\sqrt {(a-7)^{2}}=4$成立，则$a$的取值范围是______；
（3）若$\sqrt {(a+1)^{2}}+\sqrt {(a-5)^{2}}=8$，求$a$的值.

答案：
(1)3　
(2)3≤$a$≤7 　
(3)原式可化为$|a + 1|+|a - 5| = 8$，当$a\leqslant -1$时，$a + 1\leqslant 0$，$a - 5＜0$，
∴原式化为$-(a + 1)-(a - 5)=8$，解得$a = -2$，符合题意；当$-1＜a＜5$时，$a + 1＞0$，$a - 5＜0$，
∴原式化为$a + 1-(a - 5)=8$，无解；当$a\geqslant 5$时，$a + 1＞0$，$a - 5\geqslant 0$，
∴原式化为$a + 1+a - 5=8$，解得$a = 6$，符合题意.综上所述，$a = -2$或$6$.