《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学浙教版》

21. 如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连结BP，DP，延长BC到E，使PB=PE.求证：∠PDC=∠PEC.

答案： 在正方形 $ABCD$ 中，$BC = CD$，$\angle BCP = \angle DCP$，
在 $\triangle BCP$ 和 $\triangle DCP$ 中，$\begin{cases} BC = DC, \\ \angle BCP = \angle DCP, \\ PC = PC, \end{cases}$
∴ $\triangle BCP \cong \triangle DCP(SAS)$。
∴ $\angle PDC = \angle PBC$。
∵ $PB = PE$，
∴ $\angle PBC = \angle PEC$。
∴ $\angle PDC = \angle PEC$。

22. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，AC=4，点E，F分别在边AB，AC上，沿EF对折，使点A落在BC上的点D处，且FD⊥BC.
(1)求AD的长；
(2)判断四边形AEDF的形状，并证明你的结论.

答案：
(1)
∵ $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$，
∴ $\triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle B = 90^{\circ}$。
又 $AC = 2AB$，
∴ $\angle C = 30^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$。
由 $FD \perp BC$，得 $\angle FDC = 90^{\circ}$，$\angle DFC = 60^{\circ}$。
又 $AF = DF$，
∴ $\angle FAD = \angle FDA = 30^{\circ}$。
∴ $\angle DAB = 30^{\circ}$。
∴ $AD = \frac{4\sqrt{3}}{3}$。
(2) 四边形 $AEDF$ 是菱形。证明如下：
由对折，知 $\angle EDF = \angle BAC = 60^{\circ}$，
∴ $\angle BDE = 30^{\circ} = \angle C$。
∴ $AF // ED$。
∵ $\angle DFC = \angle BAC = 60^{\circ}$，
∴ $AE // FD$。
∴ 四边形 $AEDF$ 是平行四边形。
又 $AF = FD$，
∴ 四边形 $AEDF$ 是菱形。

23. 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连结CE，EF，AF.若DE=DC，EF=EC，求∠BAF的度数.

答案：
如图，连结 $AE$。

∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = AD = CB = CD$，$\angle BAD = \angle BCD = 90^{\circ}$，
∴ $\angle ABD = \angle ADB = 45^{\circ}$，$\angle CBD = \angle CDB = 45^{\circ}$。
∵ $DE = DC$，
∴ $\angle DEC = \angle DCE = \frac{180^{\circ} - 45^{\circ}}{2} = 67.5^{\circ}$，
∴ $\angle BCE = 90^{\circ} - 67.5^{\circ} = 22.5^{\circ}$，$\angle BEC = 180^{\circ} - 67.5^{\circ} = 112.5^{\circ}$。
∵ $EF = EC$，
∴ $\angle EFC = \angle BCE = 22.5^{\circ}$，
∴ $\angle FEC = 180^{\circ} - 22.5^{\circ} - 22.5^{\circ} = 135^{\circ}$，
∴ $\angle BEF = 135^{\circ} - 112.5^{\circ} = 22.5^{\circ}$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CBE$ 中，$\begin{cases} AB = CB, \\ \angle ABE = \angle CBE, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴ $\triangle ABE \cong \triangle CBE(SAS)$，
∴ $\angle BAE = \angle BCE = 22.5^{\circ}$，$EA = EC = EF$，$\angle BEA = \angle BEC = 112.5^{\circ}$，
∴ $\angle AEF = 112.5^{\circ} - 22.5^{\circ} = 90^{\circ}$，
∴ $\angle EAF = \angle EFA = 45^{\circ}$，
∴ $\angle BAF = 45^{\circ} - 22.5^{\circ} = 22.5^{\circ}$。