《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学浙教版》

23. 中考新考法 新定义问题 对于实数$m$，$n$，我们定义一种运算“※”为$m※n = mn + m + n$.
（1）化简：$(a + b)※(a - b)$；
（2）解关于$x$的方程：$x※(1※x)=-1$.

答案：
(1)
∵m※n=mn+m+n,
∴(a+b)※(a−b)=(a+b)(a−b)+a+b+a−b =a²−b²+2a.
(2)
∵x※(1※x)=−1,
∴x※(2x+1)=−1,
∴x²+2x+1=0,解得x=x2=−1.

24. 中考新考法 类比猜想 填写下列空格，并回答问题：
①方程$x^{2}-2x + 1 = 0$的两个根为$x_{1}=$________，$x_{2}=$________，$x_{1}+x_{2}=$________，$x_{1}x_{2}=$________；
②方程$x^{2}-3x - 1 = 0$的两个根为$x_{1}=$________，$x_{2}=$________，$x_{1}+x_{2}=$________，$x_{1}x_{2}=$________；
③方程$4x^{2}+x - 3 = 0$的两个根为$x_{1}=$________，$x_{2}=$________，$x_{1}+x_{2}=$________，$x_{1}x_{2}=$________.
（1）由①，②，③你能得出什么猜想？
（2）利用（1）解答：已知$2+\sqrt{3}$是方程$x^{2}-4x + c = 0$的一个根，求方程的另一个根和$c$的值.

答案： ①1　1　2　1
　②$\frac{3+√13}{2}$　$\frac{3−\sqrt{13}}{2}$　3　−1
　③−1　$\frac{3}{4}$　−$\frac{1}{4}$　−$\frac{3}{4}$
(1)猜想:两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的商.
(2)另一根为2−√3,c=1.

25. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读理解：
若$p$，$q$，$m$为整数，且三次方程$x^{3}+px^{2}+qx + m = 0$有整数解$c$，则将$x = c$代入方程，得$c^{3}+pc^{2}+qc + m = 0$，移项，得$m=-c^{3}-pc^{2}-qc$，即$m = c\times(-c^{2}-pc - q)$.
由于$-c^{2}-pc - q$与$c$及$m$都是整数，所以$c$是$m$的因数.
上述过程说明：整数系数方程$x^{3}+px^{2}+qx + m = 0$的整数解只可能是$m$的因数.
例如：方程$x^{3}+4x^{2}+3x - 2 = 0$中$-2$的因数为$\pm1$和$\pm2$，将它们分别代入方程$x^{3}+4x^{2}+3x - 2 = 0$进行验证，得$x = -2$是该方程的整数解，$-1$，$1$，$2$不是该方程的整数解.
解决问题：
（1）根据上面的学习，请你确定方程$x^{3}+x^{2}+5x + 7 = 0$的整数解只可能是哪几个整数？
（2）方程$x^{3}-2x^{2}-4x + 3 = 0$是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.

答案：
(1)由题意，得该方程如果有整数解，它只可能是7 的因数，而7的因数只有1,−1,7,−7这4个数
(2)该方程有整数解.方程的整数解只可能是3的因数，即1,−1,3，−3,将它们分别代入方程x3-2x²−4x+3=0进行验证,得x=3是该方程的整数解,