《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学浙教版》

12. 中考新考法 新定义问题 定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”。若等腰三角形 $ ABC $ 是三倍三角形，且其中一边长为3，则 $ \triangle ABC $ 的周长为________。

答案： 12或8

13. 在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC $，边 $ AB $ 的中垂线与 $ AC $ 所在的直线相交所得到的锐角为 $ 40^{\circ} $，则 $ \angle B $ 的度数为________。

答案： $65^{\circ}$或$25^{\circ}$

14. 如图，在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 和 $ \text{Rt} \triangle BAD $ 中，$ AB $ 为斜边，若使 $ \text{Rt} \triangle ABC \cong \text{Rt} \triangle BAD $，用“$ HL $”证明，则需添加的一个条件是________。（只写一个即可，不添加辅助线）

答案： $AD=BC$或$AC=BD$（两个中的一个）

15. 已知等腰三角形 $ ABC $ 的底边 $ BC $ 的长为 $ 8 \text{ cm} $，且 $ |AC - BC| = 2 \text{ cm} $，则腰 $ AC $ 的长为________。

答案： 10cm或6cm

16. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC = 5 $，$ BC = 6 $，若点 $ P $ 在边 $ AC $ 上移动，则 $ BP $ 的最小值是________。

答案： $\frac{24}{5}$

17. 如图，(1)在 $ \triangle ABC $ 中，若 $ DE // BC $，$ BE $ 平分 $ \angle ABC $，则图中相等的线段有________；(2)在 $ \triangle ABC $ 中，若 $ DE // BC $，$ BD = DE $，则图中与 $ \angle E $ 相等的角有________。

答案：
(1)$BD=DE$　
(2)$∠ABE$，$∠EBC$

18. 传统文化 赵爽弦图 我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明。如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 $ AE = $________。

答案： 3

19. 尺规作图：把如图（实线部分）补成以虚线 $ m $ 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案。（不用写作法，保留作图痕迹）

答案：
作A，B，C，D关于直线m的对称点$A'$，$B'$，$C'$，$D'$，图案如图所示.
　　　　　　　

20. 如图，点 $ M $，$ N $ 分别为 $ \angle AOB $ 边上的定点，在 $ \angle AOB $ 的边 $ OB $，$ OA $ 上分别找两点 $ P $，$ Q $，使得 $ MP + PQ + QN $ 最小。（保留作图痕迹，写出作法）

答案：
如图.
①分别作点M，N关于OB，OA的对称点D和C；②连结CD，交OA于点Q，OB于点P，此时$MP+PQ +QN$最小.