《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学浙教版》

20. 如图，矩形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O$，$AE = BF = CG = DH$. 求证：四边形 $EFGH$ 是矩形.

答案： $ \because $ 四边形ABCD是矩形，
$ \therefore AC = BD $，$ AO = CO $，$ BO = DO $，
$ \therefore AO = BO = CO = DO $。
$ \because AE = BF = CG = DH $，
$ \therefore EO = FO = GO = HO $，
$ \therefore $ 四边形EFGH是平行四边形。
又 $ EG = FH $，$ \therefore $ 四边形EFGH是矩形。

21. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle CAB$，$\angle ABC$ 的平分线交于点 $D$，$DE // AC$ 交 $BC$ 于点 $E$，$DF // BC$ 交 $AC$ 于点 $F$.
（1）点 $D$ 是 $\triangle ABC$ 的________心；
（2）求证：四边形 $DECF$ 为菱形.

答案：
(1)内
(2)连结CD。
$ \because DE // AC $，$ DF // BC $，
$ \therefore $ 四边形DECF为平行四边形。
又点D是 $ \triangle ABC $ 的内心，
$ \therefore CD $ 平分 $ \angle ACB $，即 $ \angle FCD = \angle ECD $。
又 $ \angle FDC = \angle ECD $，$ \therefore \angle FCD = \angle FDC $，
$ \therefore FC = FD $，$ \therefore $ 四边形DECF为菱形。

22. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 与 $Rt\triangle ABD$ 中，$\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$，$AD = BC$，$AC$，$BD$ 相交于点 $G$，过点 $A$ 作 $AE // DB$ 交 $CB$ 的延长线于点 $E$，过点 $B$ 作 $BF // CA$ 交 $DA$ 的延长线于点 $F$，$AE$，$BF$ 相交于点 $H$.
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）求证：四边形 $AHBG$ 是菱形.

答案：
(1)答案不唯一，如 $ \triangle ABC \cong \triangle BAD $。
$ \because BC = AD $，$ \angle ABC = \angle BAD = 90^\circ $，$ AB = BA $，
$ \therefore \triangle ABC \cong \triangle BAD $。
(2) $ \because AH // GB $，$ BH // GA $，
$ \therefore $ 四边形AHBG是平行四边形。
$ \because \triangle ABC \cong \triangle BAD $，$ \therefore \angle ABD = \angle BAC $，
$ \therefore GA = GB $，$ \therefore $ 四边形AHBG是菱形。

23. 如图，边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 被两条与边平行的线段 $EF$，$GH$ 分割为四个小矩形，$EF$ 与 $GH$ 交于点 $P$.
（1）若 $AG = AE$，证明：$AF = AH$；
（2）若 $\angle FAH = 45^{\circ}$，证明：$AG + AE = FH$；
（3）若 $Rt\triangle GBF$ 的周长为 $1$，求矩形 $EPHD$ 的面积.

答案：

(1) $ \because EF // AB $，$ GH // AD $，四边形ABCD是正方形，
$ \therefore \angle AEF = \angle ADH = 90^\circ $，$ EF = AB = DA $，$ AG = DH = AE $。
在 $ \triangle AEF $ 和 $ \triangle HDA $ 中，$ \begin{cases} AE = HD, \\ \angle AEF = \angle HDA, \\ EF = DA, \end{cases} $
$ \therefore \triangle AEF \cong \triangle HDA(SAS) $，$ \therefore AF = AH $。
(2)如图，将 $ \triangle ABF $ 绕点A逆时针旋转 $ 90^\circ $ 得到 $ \triangle ADF' $，
$ \therefore AF = AF' $，$ AH = AH $，
$ \angle FAH = \angle HAF' = 45^\circ $，
$ \therefore \triangle AFH \cong \triangle AF'H $。
$ \therefore FH = HF' = AG + BF = AG + AE $。

(3)设 $ GB = x $，$ BF = y $，则 $ GF = 1 - (x + y) $。
又 $ x^2 + y^2 = [1 - (x + y)]^2 $，
化简，得 $ (1 - x)(1 - y) = \frac{1}{2} $。
即 $ S_{矩形EPHD} = AG \cdot FC = (1 - x)(1 - y) = \frac{1}{2} $。