《2025年实验班提优训练暑假衔接版八升九年级数学浙教版》

21. 已知一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-4,0),B(2,6)$两点，
（1）求一次函数$y=kx+b$的表达式；
（2）求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积；
（3）请直接写出当$kx+b＜0$时的$x$的取值范围.

答案：
(1) 根据题意，得 $ \begin{cases} -4k + b = 0, \\ 2k + b = 6, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 1, \\ b = 4, \end{cases} $
$ \therefore $ 一次函数表达式为 $ y = x + 4 $。
(2) 当 $ x = 0 $ 时，$ y = x + 4 = 4 $，
$ \therefore $ 一次函数与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0,4) $。
$ \because $ 一次函数与 $ x $ 轴的交点 $ A $ 的坐标为 $ (-4,0) $，
$ \therefore $ 这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积 $ = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 $。
(3) 当 $ kx + b ＜ 0 $ 时，$ x $ 的取值范围为 $ x ＜ -4 $。
关键提醒 本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的表达式，一次函数与不等式的关系，利用数形结合是解题的关键。

22. 中考新考法 操作探究 如图（1），将一直角三角形的直角顶点$M$放在腰长为4的等腰直角三角形$ABC$斜边$AB$的中点上，另两条直角边分别与线段$BC,AC$交于点$D,E$，当绕着直角顶点$M$旋转时，该直角三角形两直角边与$\triangle ABC$两直角边的交点位置随之发生变化. 有两位同学提出各自的判断：甲：$\triangle MDE$的形状不会发生变化；乙：四边形$MECD$的面积不会发生变化. 你认为这两位同学的判断是否正确？请在图（2）中作出旋转后的图形，并说明理由.

答案：
甲、乙两位同学的判断都正确。理由如下：
旋转的图形如图所示，连结 $ CM $。

$ \because $ 点 $ M $ 是等腰直角三角形 $ ABC $ 的中点，
$ \therefore BM = CM $，$ \angle ACM = \angle B = 45^{\circ} $，$ \angle CMB = 90^{\circ} $。
$ \because \angle DME = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle BMD + \angle CMD = 90^{\circ} $，$ \angle CME + \angle CMD = 90^{\circ} $。
$ \therefore \angle BMD = \angle CME $。
在 $ \triangle BMD $ 和 $ \triangle CME $ 中，$ \begin{cases} \angle B = \angle ECM, \\ BM = CM, \\ \angle BMD = \angle CME, \end{cases} $
$ \therefore \triangle BMD \cong \triangle CME (ASA) $。$ \therefore MD = ME $。
$ \therefore \triangle MDE $ 是等腰直角三角形。
因此 $ \triangle MDE $ 的形状不会发生变化，故甲的说法正确。
$ S_{四边形MECD} = S_{\triangle CME} + S_{\triangle CMD} = S_{\triangle BMD} + S_{\triangle CMD} = S_{\triangle CBM} $，不变，所以乙的说法正确。
综上所述，甲、乙两位同学的判断都正确。