《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

根据下面的题设，完成34~36小题.
　　已知函数f(x)= - 1 + 2$\sqrt{3}$sin xcos x + 2cos²x.
34.函数f(x)的最小正周期是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.$\frac{\pi}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.π
　　
C.2π　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.4π
35.函数f(x)的单调减区间是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.[2kπ + $\frac{\pi}{3}$,2kπ + $\frac{2\pi}{3}$],k∈Z
　　
B.[kπ + $\frac{\pi}{3}$,kπ + $\frac{2\pi}{3}$],k∈Z
　　
C.[2kπ + $\frac{\pi}{6}$,2kπ + $\frac{2\pi}{3}$],k∈Z
　　
D.[kπ + $\frac{\pi}{6}$,kπ + $\frac{2\pi}{3}$],k∈Z
36.若x∈[-$\frac{7\pi}{12}$,$\frac{5\pi}{12}$],则函数f(x)的值域是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.(-2,2)　　　　　　　　　　　　　　　B.[-2,2]
　　
C.(-1,1)　　　　　　　　　　　　　　　D.[-1,1]

答案： B 因为$f(x)=-1 + 2\sqrt{3}\sin x\cos x+2\cos^{2}x=\cos2x+\sqrt{3}\sin2x=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$，所以函数的周期为$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，故选B.
@@D 令$2k\pi+\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{3\pi}{2}$，$k\in\mathbf{Z}$，解得：$k\pi+\frac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac{2\pi}{3}$，$k\in\mathbf{Z}$，所以函数的单调减区间是$[k\pi+\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{2\pi}{3}]$，$k\in\mathbf{Z}$，故选D.
@@B 由$x\in[-\frac{7\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]$，得$2x+\frac{\pi}{6}\in[-\pi,\pi]$，$\therefore - 1\leqslant\sin(2x+\frac{\pi}{6})\leqslant1$，$\therefore - 2\leqslant2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\leqslant2$. 故函数$f(x)$的值域是$[-2,2]$.