《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

根据下面的题设,完成31～33小题.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b = 2$\sqrt{3}$,c = 3,A + 3C = π.
31.cos C的值为 （ ）
A.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
32.边a的长度为 （ ）
A.3
B.1
C.2
D.4
33.△ABC的面积为 （ ）
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{2}$
D.2

答案： 31. A + 3C = π，故 B = 2C. 根据正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得 $2\sqrt{3}\sin C = 3×2\sin C\cos C$，又 $\sin C＞0$，故 $\cos C=\frac{\sqrt{3}}{3}$. 故选 A.
32. 由余弦定理得 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$，将 b = $2\sqrt{3}$，c = 3 代入得 $a^{2}-4a + 3 = 0$，解得 a = 3 或 a = 1，若 a = 3，则 $A = C=\frac{\pi}{4}$，且 $B=\frac{\pi}{2}$.
由 31 题解析知，$\sin C=\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，B = 2C，
∴$\sin B=\sin 2C = 2\sin C\cdot\cos C=\frac{2\sqrt{6}}{3}\neq1$，
所以 a≠3，故 a = 1. 故选 B.
33. 由 32 题知，a = 1，$\sin C=\frac{\sqrt{6}}{3}$，又 b = $2\sqrt{3}$.
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}×1×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{2}$. 故选 C.

根据下面的题设,完成34～36小题.
已知在三棱锥P - ABC中,AP,AB,AC两两互相垂直,AP = 5 cm,AB = 4 cm,AC = 3 cm,点O为三棱锥P - ABC的外接球的球心,点D为△ABC的外接圆的圆心.
34.三棱锥P - ABC的体积为 （ ）
A.10 $cm^{3}$
B.15 $cm^{3}$
C.12 $cm^{3}$
D.9 $cm^{3}$
35.直线BC与平面PAC所成角的正切值为 （ ）
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{3}$
D.1
36.球O的表面积为 （ ）
A.50π $cm^{2}$
B.25π $cm^{2}$
C.30 $cm^{2}$
D.40π $cm^{2}$

答案：
34. A 因为 AP，AB，AC 两两互相垂直，以 AP，AB，AC 为棱补成一个长方体，如图，由长方体性质知：$V_{P - ABC}=\frac{1}{6}AB\cdot AC\cdot AP = 10\ cm^{3}$，A 正确.

35. C 如 34 题解析图，BA⊥平面 PAC，所以 BC 与平面 PAC 所成角为 ∠BCA，$\tan\angle BCA=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$. 故选 C.
36.  A 如 34 题解析图，长方体的体对角线是其外接球也是三棱锥 P - ABC 外接球的直径，长度为 $\sqrt{3^{2}+4^{2}+5^{2}} = 5\sqrt{2}$，则球的表面积为 $S = 4\pi×(\frac{5\sqrt{2}}{2})^{2}=50\pi(cm^{2})$.