《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

23.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC + ccosB = a sinA,则△ABC的
　形状是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.锐角三角形　　　　　　　　　　　　　B.直角三角形
　
C.钝角三角形　　　　　　　　　　　　　D.不确定

答案： 23.B 因为bcos C + ccos B = asin A,
所以由余弦定理得
b·$\frac{a² + b² - c²}{2ab}$ + c·$\frac{a² + c² - b²}{2ac}$ = asin A,
整理,得a = asin A,所以sin A = 1.
又A∈(0,π),所以A = $\frac{\pi}{2}$.
故△ABC为直角三角形.

24.若e₁,e₂是夹角为60°的两个单位向量,则向量a = 2e₁ + e₂与向量b = -3e₁ + 2e₂的夹角为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.120°　　　　　　　　　　　　　　　　B.90°
　
C.60°　　　　　　　　　　　　　　　　　D.30°

答案： 24.A 依题意,记向量a与b的夹角为θ,则有|a| = $\sqrt{(2e₁ + e₂)²}=\sqrt{4e₁² + e₂² + 4e₁·e₂}=\sqrt{7}$, |b| = $\sqrt{(-3e₁ + 2e₂)²}=\sqrt{9e₁² + 4e₂² - 12e₁·e₂}=\sqrt{7}$,a·b = (2e₁ + e₂)·(- 3e₁ + 2e₂) = - 6e₁² + 2e₂² + e₁·e₂ = -$\frac{7}{2}$,cos θ = $\frac{a·b}{|a|·|b|}=-\frac{1}{2}$,因此θ = 120°,即向量a与b的夹角为120°,故选A.

25.设f(x) = { -x,x≤0; log₂x,x＞0, 则函数y = f(f(x))的零点之和为　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.0　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.1
　　
C.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.4

答案： 25.C 由f(f(x)) = 0得f(x) = 0或f(x) = 1,当f(x) = 0时,x = 0或x = 1;当f(x) = 1时,x = - 1或x = 2,所以函数y = f(f(x))的零点之和为0 + 1 + (- 1) + 2 = 2,故选C.

26.已知cos(θ - $\frac{π}{2}$) = $\frac{4}{5}$,-$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$,则sin2θ的值等于　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.-$\frac{24}{25}$　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{24}{25}$
　　
C.-$\frac{12}{25}$　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\frac{12}{25}$

答案： 26.B 因为cos(θ - $\frac{\pi}{2}$) = sin θ = $\frac{4}{5}$,-$\frac{\pi}{2}$＜θ＜$\frac{\pi}{2}$,
所以cos θ = $\sqrt{1 - sin²θ}=\frac{3}{5}$,
则sin 2θ = 2sin θcos θ = 2×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$.故选B.

27.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半径为R的半球内有一个方锥,方锥的所有顶点都在半球所在球的球面上,方锥的底面与半球的底面重合,若方锥的体积为$\frac{16}{3}$,则半球的表面积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.4π　　　　　　　　　　　　　　　　　B.8π
　　
C.12π　　　　　　　　　　　　　　　　　D.16π

答案： 27.C 由题意知,方锥底面正方形的边长为$\sqrt{2}R$,方锥的高为R,所以该方锥的体积V = $\frac{1}{3}·(\sqrt{2}R)²·R=\frac{16}{3}$,解得R = 2,所以该半球的表面积S = $\frac{1}{2}·4\pi R²+\pi R² = 12\pi$,故选C.