《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

1.已知集合$A=\{x\in\mathbf{R}|x^{2}-3x\geqslant0\},B = \{ - 2,2\}$,则$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cap B=$( )
A. $\varnothing$
B. $\{ - 2\}$
C. $\{2\}$
D. $\{ - 2,2\}$

答案： 解一元二次不等式$x^{2}-3x\geqslant0$得$x\leqslant0$，或$x\geqslant3$，即$A=(-\infty,0]\cup[3,+\infty)$，所以$\complement_{\mathbf{R}}A=(0,3)$，又因为$B=\{-2,2\}$，所以$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cap B = \{2\}$，故选C.

2.已知$(1 + \mathrm{i})z = 2\mathrm{i}$,则复数$z$的共轭复数是( )
A. $1 + \mathrm{i}$
B. $-1 + \mathrm{i}$
C. $1 - \mathrm{i}$
D. $-1 - \mathrm{i}$

答案： 由题意，得复数$z=\frac{2\text{i}}{1 + \text{i}}=\frac{2\text{i}(1 - \text{i})}{(1 + \text{i})(1 - \text{i})}=1+\text{i}$，所以$\overline{z}=1 - \text{i}$，故选C.

3.“$a = 0$或$b = 0$”的充要条件是( )
A. $a^{2}+b^{2}=0$
B. $\frac{a}{b}=0$
C. $ab = 0$
D. $a + b = 0$

答案： 当$a^{2}+b^{2}=0$时，$a = b = 0$，故A选项错误；当$\frac{a}{b}=0$时，$a = 0$且$b\neq0$，故B选项错误；当$ab = 0$时，$a = 0$或$b = 0$，反之，当$a = 0$或$b = 0$时，$ab = 0$，符合条件，故C选项正确；$a + b = 0$，$a=-b$，故D选项错误，故选C.

4.已知平面$\alpha$和直线$l$,给出以下命题：
①若$l$垂直于$\alpha$内两条直线,则$l\perp\alpha$;
②若$l$垂直于$\alpha$内任意一条直线,则$l\perp\alpha$;
③若$l$垂直于$\alpha$内两条相交直线,则$l\perp\alpha$;
④若$l$垂直于$\alpha$内2 021条直线,则$l\perp\alpha$.
其中正确命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 易知①④不正确.根据线面垂直的定义，知②正确；由线面垂直的判定定理，知③正确.故选B.