《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

21.已知幂函数$f(x)=(a^{2}-2a - 2)x^{a - 1}$在$(0,+\infty)$上单调递增,则实数$a$的值为( )
A. -1
B. 3
C. -1或3
D. 不存在

答案： 因为$f(x)=(a^{2}-2a - 2)x^{a - 1}$为幂函数，所以$a^{2}-2a - 2=1$，解得$a=-1$或$a = 3$，又因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，$a=-1$不满足题意，所以$a = 3$.故选B.

22.指数函数$y = a^{x}$与$y = b^{x}$的图象如图所示,则( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A. $a\lt0,b\lt0$
B. $a\lt0,b\gt0$
C. $0\lt a\lt1,b\gt1$
D. $0\lt a\lt1,0\lt b\lt1$

答案： C 结合指数函数图象的特点可知$0＜a＜1$，$b＞1$.

23.在$\triangle ABC$中,内角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,且$b^{2}+c^{2}-a^{2}=bc = 1$,则$\triangle ABC$的面积为( )
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 由$b^{2}+c^{2}-a^{2}=bc$及余弦定理$b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bc\cos A$可得$bc = 2bc\cos A$，即$\cos A=\frac{1}{2}$，所以$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$.因为$bc = 1$，所以$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times1\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$.故选C.

24.若函数$y = 2\cos(2x+\varphi)$是奇函数,且在$(0,\frac{\pi}{4})$上是增函数,则实数$\varphi$可能是( )
A. $-\frac{\pi}{2}$
B. 0
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$

答案： $\because$函数$y = 2\cos(2x+\varphi)$是奇函数，$\therefore\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbf{Z}$，又$\because$函数$y = 2\cos(2x+\varphi)$在$(0,\frac{\pi}{4})$上是增函数，$\therefore$取$(\varphi,\frac{\pi}{2}+\varphi)\subseteq[-\pi,0]$，可得$\varphi=-\frac{\pi}{2}$，故选A.

25.如图,一个底面半径为$2a$的圆锥,其内部有一个底面半径为$a$的内接圆柱,且此内接圆柱的体积为$\sqrt{3}\pi a^{3}$,则该圆锥的体积为( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi a^{3}$
B. $\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi a^{3}$
C. $4\sqrt{3}\pi a^{3}$
D. $8\sqrt{3}\pi a^{3}$

答案：
作出该几何体的轴截面如图所示，$AB$为圆锥的高，$BC = 2a$，$BD = r = a$.设内接圆柱的高为$h$.因为内接圆柱的体积为$\sqrt{3}\pi a^{3}$，所以$\pi a^{2}h=\sqrt{3}\pi a^{3}$，所以$h=\sqrt{3}a$，因为$AB// ED$，所以$\triangle CAB\sim\triangle CED$，则$\frac{h}{AB}=\frac{DC}{CB}$，即$\frac{\sqrt{3}a}{AB}=\frac{2a - a}{2a}$，故$AB = 2\sqrt{3}a$，所以圆锥的体积$V=\frac{1}{3}\pi\times(2a)^{2}\times2\sqrt{3}a=\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi a^{3}$.

故选B.