《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

27.如图,在三棱锥A - BCD中,AB = AC = 1,AB⊥AC,AD = 2,AD⊥平面ABC,E为CD的中点,则直线BE与AD所成角的余弦值为 （ ）

A.$\frac{2\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\frac{2}{3}$

答案：
如图，过点 E 作 EF⊥AC 于点 F，连接 BF. 因为 AD⊥平面 ABC，所以 AD⊥AC，所以 EF//AD，所以 ∠BEF 即为直线 BE 与 AD 所成角，且 EF⊥平面 ABC，所以 EF⊥BF. 因为 E 为 CD 的中点，则 F 为 AC 的中点，所以 $AF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$，EF = $\frac{1}{2}AD$ = 1. 在 $Rt\triangle AFB$ 中，$BF=\sqrt{AB^{2}+AF^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以 $BE=\sqrt{EF^{2}+BF^{2}}=\frac{3}{2}$，所以 $\cos\angle BEF=\frac{EF}{BE}=\frac{2}{3}$，故选 D.

阅读下面的材料,完成28～30小题.
从甲袋中摸出一个红球的概率是$\frac{1}{3}$,从乙袋中摸出一个红球的概率是$\frac{1}{2}$,从两袋各摸出一个球.
28.摸出的两个球都是红球的概率为 （ ）
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
29.摸出的两个球不都是红球的概率为 （ ）
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{2}{3}$
30.摸出的两个球中恰有一个红球的概率为 （ ）
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 28. 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 $A_{1}$，“从乙袋中摸出一个红球”为事件 $A_{2}$，则 $P(A_{1})=\frac{1}{3}$，$P(A_{2})=\frac{1}{2}$，且 $A_{1}$，$A_{2}$ 相互独立.
2 个球都是红球为事件 $A_{1}A_{2}$，其概率为 $\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，A 正确. 故选 A.
29. 2 个球不都是红球是 2 个球都是红球的对立事件，由 28 题知，两个球不都是红球的概率为 1 - $\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$. 故选 C.
30. 由 28 题知，2 个球中恰有一个红球的概率为 $\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+(1 - \frac{1}{3})×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$. 故选 B.