《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

根据下面的题设,完成34～36小题.
将函数f(x)的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度,再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$,得到函数g(x)=Asin(ωx + φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜$\frac{π}{2}$)的图象,如图所示为g(x)的部分图象.

34.函数g(x)的解析式为 ( )
A.y=$\sqrt{2}$sin(2x + $\frac{π}{3}$)
B.y=$\sqrt{2}$sin(2x + $\frac{π}{6}$)
C.y=$\sqrt{2}$sin(x + $\frac{π}{3}$)
D.y=$\sqrt{2}$sin(x + $\frac{π}{6}$)
35.函数y=f(x)的最小正周期为 ( )
A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{π}{2}$
C.π
D.2π
36.函数y=f(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的值域为 ( )
A.[-1,1]
B.[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$]
C.[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{2}$]
D.[-1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

答案： A 由题图可知，A = $\sqrt{2}$，g(x)的最小正周期T = 4×($\frac{7\pi}{12}$ - $\frac{\pi}{3}$) = π，所以ω = $\frac{2\pi}{T}$ = 2，g(x) = $\sqrt{2}$sin(2x + φ).由g($\frac{7\pi}{12}$) = - $\sqrt{2}$可得2×$\frac{7\pi}{12}$ + φ = 2kπ + $\frac{3\pi}{2}$，k∈Z，得φ = 2kπ + $\frac{\pi}{3}$，k∈Z，又|φ| ＜ $\frac{\pi}{2}$，所以φ = $\frac{\pi}{3}$，所以g(x) = $\sqrt{2}$sin(2x + $\frac{\pi}{3}$).
@@D 由34题知，g(x) = $\sqrt{2}$sin(2x + $\frac{\pi}{3}$)，将g(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，将y = $\sqrt{2}$sin(x + $\frac{\pi}{3}$)的图象，再向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，得f(x) = $\sqrt{2}$sin(x - $\frac{\pi}{6}$ + $\frac{\pi}{3}$) = $\sqrt{2}$sin(x + $\frac{\pi}{6}$)的图象. 所以，f(x)的最小正周期为2π.
@@C f(x) = $\sqrt{2}$sin(x + $\frac{\pi}{6}$)，当x ∈ [0，$\frac{\pi}{2}$]时，x + $\frac{\pi}{6}$∈[$\frac{\pi}{6}$，$\frac{2\pi}{3}$]，sin(x + $\frac{\pi}{6}$)∈[$\frac{1}{2}$，1]，所以f(x)在区间[0，$\frac{\pi}{2}$]上的值域为[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$].