《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

11.已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A,B的一点，D为下底面圆周上一点,且AD垂直于圆柱的底面,则必有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
A.平面ABC⊥平面BCD　　　　　　　　B.平面BCD⊥平面ACD
　
C.平面ABD⊥平面ACD　　　　　　　　D.平面BCD⊥平面ABD

答案： B 因为$AB$是圆柱上底面的一条直径，所以$AC\perp BC$. 又$AD$垂直于圆柱的底面，所以$AD\perp BC$. 因为$AC\cap AD = A$，$AC$，$AD\subset$平面$ACD$，所以$BC\perp$平面$ACD$. 又$BC\subset$平面$BCD$，所以平面$BCD\perp$平面$ACD$. 故选B.

12.电子钟表一天显示的时间是从00:00到23:59,每一时刻都由4个数字组成,那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.$\frac{1}{180}$　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{1}{288}$
　
C.$\frac{1}{360}$　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\frac{1}{480}$

答案： C 电子钟表一天显示的时间是从$00:00$到$23:59$共有$24\times60$种不同的情形，其中一天中相应时刻的4个数字之和等于23的情形共有4种(分别为$09:59$，$19:58$，$18:59$，$19:49$)，因此所求的概率等于$\frac{4}{24\times60}=\frac{1}{360}$，故选C.

13.已知偶函数$g(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增,若$a = g(-1),b = g(2^{0.2}),c = g(\log_{2}\frac{1}{2})$,则(　　　)
　
A.$c ＜ a ＜ b$　　　　　　　　　　　　　　　B.$b ＜ c ＜ a$
　
C.$c ＜ b ＜ a$　　　　　　　　　　　　　　　D.$a ＜ c ＜ b$

答案： A 因为$g(x)$是偶函数，所以$a = g(-1)=g(1)$，$c = g(\log_3\frac{1}{2}) = g(-\log_32)=g(\log_32)$. 因为$\log_32 ＜ \log_33 = 1$，$2^{0.2} ＞ 2^0 = 1$，所以$\log_32 ＜ 1 ＜ 2^{0.2}$. 因为$g(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，所以$g(\log_32) ＜ g(1) ＜ g(2^{0.2})$，即$c ＜ a ＜ b$，故选A.

14.已知圆锥的侧面积为3π，它的侧面展开图是圆心角为$\frac{2\pi}{3}$的扇形,则此圆锥的底面半径为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.$\sqrt{3}\pi$　　　　　　　　　　　　　　　　　B.1
　
C.$\pi$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.2

答案： B 设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$. 由题意得$\begin{cases}\pi rl = 3\pi\\\frac{2\pi r}{l}=\frac{2\pi}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}r = 1\\l = 3\end{cases}$，故选B.

15.已知函数$y = x+\frac{1}{x}-2(x＜0)$，则函数有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.最大值为0　　　　　　　　　　　　　　B.最小值为0
　
C.最大值为 - 4　　　　　　　　　　　　　D.最小值为 - 4

答案： C $\because x ＜ 0$，$\therefore y = -[(-x)+\frac{1}{(-x)}]-2\leqslant - 2 - 2 = - 4$，当且仅当$-x=\frac{1}{-x}$，即$x = - 1$时取等号.