《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

15.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{5}{6}$

答案： 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法.红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.故选C.

16.若直线$a// b,b\cap c = A$,则$a$与$c$的位置关系是( )
A. 异面
B. 相交
C. 平行
D. 异面或相交

答案： D $a$与$c$不可能平行，若$a// c$，又因为$a// b$，所以$b// c$，这与$b\cap c = A$矛盾，但$a$与$c$异面、相交都有可能.

17.已知$\alpha$是第二象限角,且$\tan\alpha=-\frac{4}{3}$,则$\sin\alpha$等于( )
A. $\frac{4}{5}$
B. $-\frac{4}{5}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $-\frac{3}{5}$

答案： 由$\alpha$是第二象限角，得$\sin\alpha＞0$，$\because\tan\alpha=-\frac{4}{3}$，$\therefore\cos^{2}\alpha=\frac{\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}=\frac{1}{1+\tan^{2}\alpha}=\frac{1}{1+\frac{16}{9}}=\frac{9}{25}$，则$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$，故选A.

18.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计,该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A. 0.50
B. 0.45
C. 0.40
D. 0.35

答案： A 两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.它们分别是92，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率为$\frac{10}{20}=0.50$.

19.已知角$A$满足$\sin A+\cos A=\frac{1}{5}$,则$\sin2A$的值为( )
A. $\frac{12}{25}$
B. $-\frac{12}{25}$
C. $\frac{24}{25}$
D. $-\frac{24}{25}$

答案： $\because\sin A+\cos A=\frac{1}{5}$①，①式两边平方得$1 + 2\sin A\cos A=\frac{1}{25}$，$\therefore\sin2A=2\sin A\cos A=-\frac{24}{25}$，故选D.

20.已知$x\gt - 2$,则$x+\frac{16}{x + 2}$的最小值为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

答案： 由于$x＞-2$，则$x + 2＞0$，故$x+\frac{16}{x + 2}=x + 2+\frac{16}{x + 2}-2\geqslant2\sqrt{16}-2=6$，当且仅当$x + 2=\frac{16}{x + 2}$，即$x = 2$时取等号，因此$x+\frac{16}{x + 2}$的最小值为6.故选B.