《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

24.关于x的不等式x² - 2ax - 8a²＜0(a＞0)的解集为{x|x₁＜x＜x₂},且x₂ - x₁ = 15,则a等于(　　　)
　
A.$\frac{5}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.$\frac{7}{2}$
　
C.$\frac{15}{4}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.$\frac{15}{2}$

答案： A 由条件得$x_{1}+x_{2}=2a$，$x_{1}\cdot x_{2}=-8a^{2}$，所以$(x_{2}-x_{1})^{2}=(x_{2}+x_{1})^{2}-4x_{2}x_{1}=36a^{2}=15^{2}$，解得$a=\pm\frac{5}{2}$，因为$a＞0$，所以$a=\frac{5}{2}$，故选A.

25.函数y = sin(2x + $\frac{\pi}{3}$)的图象经过下列平移,可以得到偶函数图象的是　　　　　　　　　(　　　)
　　
A.向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度
　　
B.向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度
　　
C.向右平移$\frac{5\pi}{12}$个单位长度
　　
D.向左平移$\frac{5\pi}{12}$个单位长度

答案： C 将函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到$y=\sin[2(x-\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{3}]=\sin2x$的图象，是奇函数，排除A；向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到$y=\sin[2(x+\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{3}]=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$的图象，既不是奇函数也不是偶函数，排除B；向右平移$\frac{5\pi}{12}$个单位长度得到$y=\sin[2(x-\frac{5\pi}{12})+\frac{\pi}{3}]=\sin(2x-\frac{\pi}{2})=-\cos2x$的图象，是偶函数，C正确；向左平移$\frac{5\pi}{12}$个单位长度得到$y=\sin[2(x+\frac{5\pi}{12})+\frac{\pi}{3}]=\sin(2x+\frac{7\pi}{6})$的图象，既不是奇函数又不是偶函数，排除D，故选C.

26.如图1所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,
AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,如图2所示，那么，在四面体A - EFH中必有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　
　　
A.AH⊥△EFH所在平面
　　
B.AG⊥△EFH所在平面
　　
C.HF⊥△AEF所在平面
　　
D.HG⊥△AEF所在平面

答案： A 由题图1可知，$AB\perp BE$，$AD\perp DF$，所以在题图2中有$AH\perp HE$，$AH\perp HF$，又$HE\cap HF = H$，$HE$，$HF\subset$平面$EFH$，所以$AH\perp\triangle EFH$所在平面，故选A.