《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

10.如图所示,△ABC中,点D是线段BC的中点,E是线段AD的靠近A的三等分点,则$\overrightarrow{BE}$= （ ）

A.$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$
B.$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$
C.$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$
D.$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$

答案： 由题知 $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，所以 $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$，故选 A.

11.在△ABC中,A = 45°,a = $\sqrt{3}$,b = 2,则c = （ ）
A.2$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$或2$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{2}+1$或$\sqrt{2}-1$

答案： 在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，3 = 4 + $c^{2}-2\sqrt{2}c$，解得 $c = \sqrt{2}\pm1$，又由正弦定理得 $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以 45° ＜ B ＜ 135°，所以 c 有两解，故选 D.

12.在△ABC按斜二测画法得到△A'B'C'(如图所示),其中B'O' = C'O' = 1,A'O' = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,那么△ABC是一个 （ ）

A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.三边互不相等的三角形

答案：
根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示.

由图易得 AB = BC = AC = 2，故 $\triangle ABC$ 为等边三角形，故选 A.

13.下列抽样试验中,用抽签法方便的是 （ ）
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
D.从甲、乙两厂生产的两箱(每15件)产品中抽取6件进行质量检验

答案： 由于 A，C 中总量较大，B，D 比较，D 中两箱产品有甲、乙两厂之分，故选 B.