《2025年对点对题高考状元训练手册高三数学人教版》

26.已知α,β为锐角,sin(α + 2β)=$\frac{1}{5}$,cos β=$\frac{1}{3}$,则sin(α + β)的值为（ ）
A.$\frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{15}$
B.$\frac{1 - 8\sqrt{3}}{15}$或$\frac{1 + 8\sqrt{3}}{15}$
C.$\frac{1 - 8\sqrt{3}}{15}$
D.$\frac{1 + 8\sqrt{3}}{15}$

答案： 因为0＜β＜$\frac{π}{2}$，且cos β=$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$，所以$\frac{π}{3}$＜β＜$\frac{π}{2}$，所以$\frac{2π}{3}$＜2β＜π.因为0＜α＜$\frac{π}{2}$，所以$\frac{2π}{3}$＜α + 2β＜$\frac{3π}{2}$，所以cos(α + 2β)= - $\frac{2\sqrt{6}}{5}$，sin β=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以sin(α + β)=sin[(α + 2β) - β]=sin(α + 2β)cos β - cos(α + 2β)sin β=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{3}$ - ( - $\frac{2\sqrt{6}}{5}$)×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1 + 8\sqrt{3}}{15}$，故选D.

27.如图是函数y=sin(ωx + φ)的部分图象,则sin(ωx + φ)=（ ）
　　　　　　　　　　　　　　　
①sin(x - $\frac{π}{3}$) ②sin($\frac{4π}{3}$ - 2x)
③cos(2x + $\frac{π}{6}$) ④cos($\frac{5π}{6}$ - 2x)
A.①②
B.②④
C.①③
D.③④

答案： 若ω＞0，根据函数y=sin(ωx+φ)的部分图象，可得$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$ - $\frac{π}{6}$，解得ω = 2.再结合五点法作图，可得2×$\frac{π}{6}$+φ=0，
∴φ= - $\frac{π}{3}$，故函数的解析式为y=sin(2x - $\frac{π}{3}$)=sin($\frac{π}{2}$+2x - $\frac{5π}{6}$)=cos(2x - $\frac{5π}{6}$)=cos($\frac{5π}{6}$ - 2x)；若ω＜0，根据函数y=sin(ωx+φ)= - sin( - ωx - φ)的部分图象，可得$\frac{1}{2}$×|$\frac{2π}{ω}$|=$\frac{2π}{3}$ - $\frac{π}{6}$，解得ω = - 2.再结合五点法作图，可得 - 2×$\frac{π}{6}$+φ=π，
∴φ=$\frac{4π}{3}$，故函数解析式为y=sin( - 2x + $\frac{4π}{3}$)，故选B.

阅读下面的材料,完成28～30小题.
张先生为提高家庭经济收入进行投资.他现有100万元资金可用于投资,有两种投资方式,一种是投资某科技公司,另一种是投资生态环保企业.已知投资科技公司的收益f(x)与投入的资金数x(x＞0,单位:万元)的关系式为f(x)=$\frac{a}{2}$x + 0.1,投资生态环保企业的收益g(x)与投入的资金数x(x＞0,单位:万元)的算术平方根成正比,且各投资1万元时,投资科技公司和生态环保企业的收益分别为0.28万元和0.36万元.
28.收益f(x)与投入资金数x的函数关系式为（ ）
A.f(x)=0.18x + 0.1(0＜x≤100)
B.f(x)=0.36x + 0.1(0＜x≤100)
C.f(x)=0.36$\sqrt{x}$ + 0.1(0＜x≤100)
D.f(x)=0.18$\sqrt{x}$ + 0.1(0＜x≤100)
29.收益g(x)与投入资金数x的函数关系式为（ ）
A.g(x)=0.18$\sqrt{x}$(0＜x≤100)
B.g(x)=0.36$\sqrt{x}$(0＜x≤100)
C.g(x)=0.18$\sqrt{x}$(0＜x≤100)
D.g(x)=0.36$\sqrt{x}$(0＜x≤100)
30.张先生用这100万元投资某科技公司和生态环保企业,总收益的最大值为（ ）
A.17.28万元 B.18.28万元
C.19万元 D.20.16万元

答案： 28.由题意知，f
(1)=$\frac{a}{2}$+0.1=0.28，解得a = 0.36，故f(x)=0.18x + 0.1(0＜x≤100).故选A.
29.根据题意，设g(x)=m$\sqrt{x}$(m＞0)，
∴g
(1)=m = 0.36.
∴g(x)=0.36$\sqrt{x}$(0＜x≤100).故选D.
30.设投资生态环保企业的资金为x万元，则投资科技公司的资金为(100 - x)万元，设总收益为y万元，则y=0.18×(100 - x)+0.1+0.36$\sqrt{x}$(0＜x≤100)，设$\sqrt{x}$=t，t∈(0,10]，则y=18.1 - 0.18t²+0.36t= - 0.18(t - 1)²+18.28，当t = 1，即x = 1时，总收益y取得最大值，为18.28万元.故选B.